Riemann Summe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechne mit Riemannschen Summen folgende Integrale:
a) [mm] $\integral_{0}^{1}xdx [/mm] $
b) [mm] $\integral_{0}^{1}x^{2} [/mm] dx$ |
Hallo,
bei a) [mm] $\integral_{0}^{1}xdx= \limes_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta [/mm] x $
Es gilt: [mm] $\Delta [/mm] x = [mm] \frac{b-a}{n}$ [/mm] und [mm] $x_{i}=a+(\Delta [/mm] x )i$
[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^{2}}$ [/mm]
das ist aber [mm] $\infty$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Berechne mit Riemannschen Summen folgende Integrale:
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> a) [mm]\integral_{0}^{1}xdx[/mm]
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> b) [mm]\integral_{0}^{1}x^{2} dx[/mm]
> Hallo,
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> bei a) [mm]\integral_{0}^{1}xdx= \limes_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x[/mm]
>
> Es gilt: [mm]\Delta x = \frac{b-a}{n}[/mm] und [mm]x_{i}=a+(\Delta x )i[/mm]
mit b=1, a=0.
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^{2}}[/mm]
> das ist aber [mm]\infty[/mm] und nicht [mm]\frac{1}{2}[/mm]
Wirklich? Du hast wohl übersehen, dass du noch [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] aus der Summe herausziehen kannst. Zusammen mit der gaußschen Summenformel ergibt sich der gewünschte Grenzwert.
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> Was habe ich falsch gemacht?
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Summenformel
Ok.
bei b)
käme man dann auf [mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
[/mm]
Danke!
kushkush
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