Riemann Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:34 Di 31.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Wir haben in der Vorlesung [mm] \integral_{0}^{1}{xdx} [/mm] nach der Definition von Riemann das berechnet.Nur war die Erklärung nicht sehr gut.Könnt ihr mir vielleicht die Rechenschritte plausibel erklären? Ich habe leider keine Ahnung was da vor sich geht :/
[mm] \integral_{0}^{1}{xdx}=\summe_{i=0}^{n=1}\bruch{1}{n}*\bruch{i}{n}=\bruch{1}{n^2}\summe_{0}^{1}i=\bruch{1}{n^2}*\bruch{1}{2}(n-1)*n=\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}=\bruch{1}{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Wir haben in der Vorlesung [mm]\integral_{0}^{1}{xdx}[/mm] nach der
> Definition von Riemann das berechnet.Nur war die Erklärung
> nicht sehr gut.Könnt ihr mir vielleicht die Rechenschritte
> plausibel erklären? Ich habe leider keine Ahnung was da
> vor sich geht :/
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{xdx}=\summe_{i=0}^{n=1}\bruch{1}{n}*\bruch{i}{n}=\bruch{1}{n^2}\summe_{0}^{1}i=\bruch{1}{n^2}*\bruch{1}{2}(n-1)*n=\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
Abschreiben ist eine hohe Kunst !!
Richtig lautet obiges:
[mm]\integral_{0}^{1}{xdx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}*\bruch{i}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{i=0}^{n}i=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}*\bruch{1}{2}(n+1)*n=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{n+1}{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] $Z_n:=(0,\bruch{1}{n}, \bruch{2}{n},..., \bruch{n}{n})$ [/mm] die äquidistante Zerlegung von [0,1] in n+1 Teilpunkte.
Mit f(x)=x ist dann
[mm] $S_n:= \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}*\bruch{i}{n}= \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}*f(\bruch{i}{n})$
[/mm]
eine zugehörige Riemannsche Zwischensumme und es gilt:
[mm] $\integral_{0}^{1}{xdx}= \limes_{n\rightarrow\infty}S_n=1/2$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Di 31.05.2011 | | Autor: | racy90 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{i}{n} [/mm] sind das die Breiten und Höhen?
|
|
|
| |
|
Hallo racy90,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{i}{n}[/mm]
> sind das die Breiten und Höhen?
Ja, das was in der Summe steht, ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Breite [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und Höhe [mm] $\frac{i}{n}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
