Riemann Integrabel? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 So 24.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Guten Abend euch allen,
es ist zwar spät, aber ich zerbreche mir an einem "neuen" Aufgabentyp den Kopf. Ich finde keine andere "gleiche" Art von so einer Aufgabe so dass ich sehen kann wie man sie rechnet.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
f: [0,1] -> [mm] \IR [/mm] ist Riemann-integrabel über [b,1] für alle b, 0 < b [mm] \le [/mm] 1. Beweise dass wenn f begrenzt ist, f Riemann integrabel über [0,1] ist.
Ich hoffe ich habe die Aufgabe ins Deutsche verständlich übersetzt!
Würde mich über eure Antworten freuen!!
Liebe Grüße
Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 29.04.2005 | | Autor: | choosy |
Moin,
das ist eigentlich net so schwer:
Sei $ [mm] \varepsilon>0$ [/mm] bel.
$f$ ist beschränkt auf [0,1] also def.
$ c [mm] :=\sup \{f(x): x\in [0,1] \} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
$f$ ist riemannintegrierbar auf $[b,1]$ für alle [mm] $b\in(0,1)$, [/mm]
wähle speziell $b = [mm] \frac{ \varepsilon}{2c}$
[/mm]
dann ex. nach def. von riemann integrabel eine
Partition [mm] $\zeta [/mm] = [mm] \{b=t_0,t_1,...,t_n=1\}\subset[b,1]$ [/mm] mit
[mm] $S(f,\zeta)-s(f,\zeta)\leq \frac{ \varepsilon}{4}$,
[/mm]
wobei $S$ die ober-, $s$ die Untersumme des Integrals ist.
Sei nun [mm] $\xi [/mm] = [mm] \zeta\cup \{ 0 \}$ [/mm] eine verfeinerung der Partition,
dann ist
[mm] $S(f,\xi)-s(f,\xi) \leq [/mm] cb + [mm] S(f,\zeta)-s(f,\zeta) \leq\varepsilon$
[/mm]
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