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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Di 27.10.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Gegeben sei eine Funktion f =[a,b]-> [mm] \IR [/mm] und sei [mm] \left| f \right| [/mm] R-integrierbar. Ist dann auch f R-integrierbar? |
Wir hatte hier einen Satz, der besagt, dass, wenn [mm] \left| f \right| [/mm] : [0, [mm] \infty[ [/mm] dann ist [mm] \left| \int_Wf \right| [/mm] <= [mm] \int_W \left| f \right| [/mm] . Kann ich das hier evtl benutzen, oder geht das gar nicht?
Danke und Gruß, Ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei eine Funktion f =[a,b]-> [mm]\IR[/mm] und sei [mm]\left| f \right|[/mm]
> R-integrierbar. Ist dann auch f R-integrierbar?
> Wir hatte hier einen Satz, der besagt, dass, wenn [mm]\left| f \right|[/mm]
> : [0, [mm]\infty[[/mm] dann ist [mm]\left| \int_Wf \right|[/mm] <= [mm]\int_W \left| f \right|[/mm]
> . Kann ich das hier evtl benutzen, oder geht das gar
> nicht?
>
> Danke und Gruß, Ben
Sei $a = 0, b = 1$ und $f = 1 - 2 [mm] \cdot 1_A$ [/mm] (wobei [mm] $1_A$ [/mm] die Indikatorfunktion von $A$ ist) fuer eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] [0, 1]$. Dann gilt $|f| = 1$, womit $|f|$ Riemann-integrierbar ist.
Ist allerdings $f$ fuer jede beliebige Menge $A$ Riemann-integrierbar?
LG Felix
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