Riemann-Integrierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:53 Mi 21.05.2014 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Ich zitiere aus Wirsching, "Gewöhnliche Differentialgleichungen".
\textbf{Satz 10.2} Seien $M\subset\mathbb{R}^N$ Jordan-messbar und $f\colon\bar{M}\to\mathbb{R}$ stetig. Dann ist $f$ über $M$ Riemann-integrierbar.
\textbf{Beweis}
Zum Beweis des N-dimensionalen Falls kann man den Beweis in einer Dimension, der als bekannt vorausgesetzt wird, fast wörtlich übernehmen. Hier eine Skizze:
Weil $M$ Jordan-messbar ist, ist $M$ eine beschränkte Menge. Also ist ihr Abschluss $\bar{M}$ kompakt. Daraus folgt, dass $f$ beschränkt und gleichmäßig sttig ist; bezeichne $B:=\sup_{x\in M}\lvert f(x)\rvert$.
Sei jetzt $\varepsilon >0$ beliebig. Zur Approximation von unten wählt man zunächst endliche viele paarweise disjunkte offene N-dimensionale Intervalle, die das Volumen von $M$ genau genug approximieren:
$vol(M)-\sum_{j}vol(Q_j)\leqslant\frac{\varepsilon}{2B}$.
Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ kann man dann durch Unterteilen diese Intervalle so klein machen, dass die Schwankung von $f$ auf jedem der N-dimensionalen Teilintervalle $Q_j$ die folgende Ungleichung erfüllt:
$\text{osc}_f(Q_j)\leqslant\frac{\varepsilon}{vol(M)}$.
Analog approximiert man $M$ von oben durch genügend kleine paarweise disjunkte kompakte N-dimensionale Intervalle $K_l$, auf denen die Schwankung von $f$ ebenfalls obige Ungleichung erfüllt.
Man erhält so zunächst für alle $x\in M$ die Ungleichungskette
$\sum_j}(\inf_{y\in Q_j} f(y))\cdot\chi_{Q_j}(x)\leqslant f(x)\leqslant\sum_l (\sup_{y\in K_l} f(y))\cdot\chi_{K_l}(x)$,
dann daraus die Ungleichungskette
$\sum_{j}(\inf_{y\in Q_j}f(y))\cdot vol(Q_j)\leqslant\int_* f\leqslant\int^{*} f\leqslant\sum_l (\sup_{y\in K_l}f(y))\cdot vol(K_l)$
und schließlich nach Konstruktion der $Q_j$ und der $K_l$ die Abschätzung
$\left\lvert\sum_l (\sup_{y\in K_l}f(y))\cdot vol(K_l)-\sum_j (\inf_{y\in Q_j}f(y))\cdot vol(Q_j)\right\rvert\leqslant\varepsilon$. |
Hallo!
Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht verstehe, wieso am Ende
$\left\lvert\sum_l (\sup_{y\in K_l}f(y))\cdot vol(K_l)-\sum_j (\inf_{y\in Q_j}f(y))\cdot vol(Q_j)\right\rvert\leqslant\varepsilon$
ist.
Ich denke hier gehen die speziellen Wahlen $\frac{\varepsilon}{2B}$ und $\frac{\varepsilon}{2vol(M)}$ ein, aber das alles sehe ich leider nicht.
Wenn mir DAS jemand erklären könnte, wäre ich sehr froh, da ich absolut nicht weiter komme.
Mit ganz lieben Grüßen
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 23.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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