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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 26.07.2015 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die Funktionen [mm] f_n: [0,1] \to \IR [/mm]gegeben durch
[mm]
f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x= 1/i \mbox{mit} i \in \{1,2....n\} \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases} [/mm] auf ihre Riemann-Integrierbarkeit. Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] falls [mm] f_n [/mm] Riemann-integrierbar ist. |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] f: [0,1] \to \IR [/mm] durch den punktweisen Grenzwert [mm] f(x):=limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] gegeben. Ist f Riemann-integrierbar. |
Also für die erste Aufgabe lautet mein Ansatz:
Jede Funktion [mm] f_n(x) [/mm] ist beschränkt. Zudem ist sie auf dem Intervall [mm] [0,1]\setminus [/mm] M stetig, wobei M die endlich vielen Elemente x= 1/i [mm] \mbox{mit} [/mm] i [mm] \in \{1,2....n\} [/mm] enthält.Somit ist jede Funktion [mm] f_n [/mm] Riemann-Integrierbar.
[mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= [/mm] 0 da [mm] f_n [/mm] überall auf [mm] [0,1]\setminus [/mm] M gleich 0 ist.
So nun zum Zweiten, vorherigen Satz kann ich ja nicht mehr anwenden, da die Menge M nicht mehr endlich ist. Allerdings ist folgender Satz bekannt:
Ist die Funktion f : [mm] [a,b]\to \IR [/mm] beschränkt und ist f auf allen Intervallen [mm] [c,d]\subset(a,b) [/mm] Riemann-integrierbar, dann ist auch auf [a,b] Riemann-integrierbar.
Wenn ich f auf jedem beliebigen Intervall [mm] [c,1]\subset(a,1] [/mm] betrachte, dann ist die Zahl der Unstetigkeitsstellen wieder endlich, also f Riemann-integrierbar. Mit dem genannten Satz f also auch auf [0,1] Riemann-integrierbar.
ist diese Argumentation so schlüssig?
Dankeschön ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mi 29.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Funktionen [mm]f_n: [0,1] \to \IR [/mm]gegeben
> durch
> [mm]
f_n(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x= 1/i \mbox{mit} i \in \{1,2....n\} \\ 0, & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
> auf ihre Riemann-Integrierbarkeit. Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] falls [mm]f_n[/mm] Riemann-integrierbar
> ist.
> Sei [mm]f: [0,1] \to \IR [/mm] durch den punktweisen Grenzwert
> [mm]f(x):=limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)[/mm] gegeben. Ist f
> Riemann-integrierbar.
> Also für die erste Aufgabe lautet mein Ansatz:
>
> Jede Funktion [mm]f_n(x)[/mm] ist beschränkt. Zudem ist sie auf dem
> Intervall [mm][0,1]\setminus[/mm] M stetig, wobei M die endlich
> vielen Elemente x= 1/i [mm]\mbox{mit}[/mm] i [mm]\in \{1,2....n\}[/mm]
> enthält.Somit ist jede Funktion [mm]f_n[/mm] Riemann-Integrierbar.
> [mm]\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=[/mm] 0 da [mm]f_n[/mm] überall auf
> [mm][0,1]\setminus[/mm] M gleich 0 ist.
>
> So nun zum Zweiten, vorherigen Satz kann ich ja nicht mehr
> anwenden, da die Menge M nicht mehr endlich ist. Allerdings
> ist folgender Satz bekannt:
>
> Ist die Funktion f : [mm][a,b]\to \IR[/mm] beschränkt und ist f auf
> allen Intervallen [mm][c,d]\subset(a,b)[/mm] Riemann-integrierbar,
> dann ist auch auf [a,b] Riemann-integrierbar.
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> Wenn ich f auf jedem beliebigen Intervall [mm][c,1]\subset(a,1][/mm]
> betrachte, dann ist die Zahl der Unstetigkeitsstellen
> wieder endlich, also f Riemann-integrierbar. Mit dem
> genannten Satz f also auch auf [0,1] Riemann-integrierbar.
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> ist diese Argumentation so schlüssig?
Ja
FRED
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> Dankeschön ;)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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