Richtungsableitung bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen.
Welche allgemeinen Rechenschritte muß man ausführen, um die Richtungsableitung einer Funktion zu bestimmen?
z.B.:
f(x,y)=x²-y², Richtung: [mm] v=\wurzel{2}/2 \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] Lsg.:\wurzel{2}*(x-y)
[/mm]
Ansatz bzw. Musterlösung: Weiß hier schon nichtmehr warum die 2 im Nenner verschwindet.
[mm] g_v(x,y)= f(x+\wurzel{2}/2*\epsilon, y+\wurzel{2}/2*\epsilon)=
[/mm]
[mm] =x²-y²+\wurzel{2}*(x-y)
[/mm]
Danke im Voraus,
Lg Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peter!
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit (direkt über die Definition)
Dann erhalten wir:
[mm] $g_v(x,y) [/mm] = [mm] \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{ \left( x + \frac{\sqrt{2}}{2} \varepsilon \right)^2 - \left( y + \frac{\sqrt{2}}{2} \varepsilon \right)^2 - (x^2-y^2)}{\varepsilon} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{\sqrt{2} \varepsilon x + \frac{1}{2}\varepsilon^2 - \sqrt{2} \varepsilon y - \frac{1}{2} \varepsilon^2}{\varepsilon} [/mm] = [mm] \sqrt{2} [/mm] (x-y)$.
2. Möglichkeit (über den Gradienten)
Wir nutzen aus, dass
[mm] $g_v(x,y) [/mm] = [mm] \langle (grad\, f)^T(x,y), \frac{\sqrt{2}}{2} \pmat{1 \\ 1} \rangle$
[/mm]
gilt (beachte, dass wir wegen [mm] $\Vert \frac{\sqrt{2}}{2} \pmat{1 \\ 1} \Vert [/mm] =1$ nicht zu normieren brauchen).
Dann erhalten wir sofort:
[mm] $g_v(x,y) [/mm] = [mm] \langle \pmat{2x \\ -2y}, \frac{\sqrt{2}}{2} \pmat{1 \\ 1} \rangle= \sqrt{2} [/mm] (x-y)$.
Liebe Grüße
Julius
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Hey Julius.
Vielen Dank für die ausgiebig/präzise Antwort zu meiner 1. Frage.
Hat mir sehr weitergeholfen.
2. Frage:
Wie bestimmt man die Richtungsableitung, wenn der Richtungsvektor noch normiert werden muß?
Z.B.:
f(x,y)=x²-y², Richtung: $ [mm] v=\wurzel{2}/2 \vektor{3 \\ 4} [/mm] $
Habe zu ausgedachtem Bsp. keine Musterlösung.
Vielen Dank im Voraus,
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 24.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie bestimmt man die Richtungsableitung, wenn der
> Richtungsvektor noch normiert werden muß?
Eiegntlich genauso - ich weiß nicht, warum Julius da normieren will. Man will oft auch nur bzgl. normeirten Vektioren berechnen - dann muss man halt durch die Norm des Vektors teilen.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 24.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Richtungsableitung ist nur für normierte Vektoren
> definiert, siehe etwa hier:
Weder im Wiki noch im Königsberger Analysis II noch in unserer Vorlesung wurde das so gemacht - man kann es ja einfach ohen Schaden für alle vektoren ausdehenn. Hier allerdings schon: ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf. Ich frage mich, warum. Es bringt vielleicht stylistische Vorteile, dass man nur verschiedene winkel unetrscheidet - aber notwendig ist es nicht.
SEcki
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Hallo Zusammen.
Z.B.:
f(x,y)=x²-y², Richtung: $ [mm] v=\wurzel{2}/2 \vektor{3 \\ 4} [/mm] $
Ansatz: Normberechnung
[mm] \parallel \vektor{3 \\ 4} \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{3²+4²} [/mm] = 5
Wie genau teilt man den Vektor durch die Norm?
Danke im Voraus,
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Peter84 |
Wenn du den Vektor $v= [mm] \vektor{3 \\4}$ [/mm] normieren möchtest, so multiplizierst du ihn mit dem Kehrwert der Norm, also
$v'= [mm] \bruch{1}{ \parallel v \parallel} v=\bruch{1}{5}\vektor{3 \\ 4}$
[/mm]
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