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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 13.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Ich weiß nicht so recht, wie folgende Aufgabe gerechnet wird und ob meine angefangene Rechnung stimmt:
Folgende Funktion ist gegeben: z = f(x,y) = [mm] (x-3)e^{x-1} [/mm] + [mm] 2e^{2y} [/mm] - 4y
Berechnen Sie im Punkt [mm] P(1,\bruch{1}{2},z_{0}) [/mm] die Richtung des steilsten Anstiegs, den größten Anstieg und den größten Anstiegswinkel (Gradmaß)!
Meine Lösung:
Die Richtung des steilsten Anstiegs ist ja gleich dem Gradient im Punkt P, oder?
Also grad f(x,y) = [mm] (f_{x},f_{y}) [/mm] .
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] e^{x-1}(x-2)
[/mm]
[mm] f_{y} [/mm] = [mm] 4(e^{2y}-1)
[/mm]
grad f(x,y) = [mm] (e^{x-1}(x-2),4(e^{2y}-1))
[/mm]
grad [mm] f(1;\bruch{1}{2}) [/mm] = (-1;4(e-1))
Der größte Anstieg ergibt sich ja in Richtung des Gradienten, also:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial\vec{v}} [/mm] = [mm] \vec{v}*grad [/mm] f
setzen [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{u}
[/mm]
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\vec{u}|}*\vec{u}
[/mm]
[mm] |\vec{u}| [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)² + (4e-4)²} [/mm] = [mm] \wurzel{16e²-16e+17}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \vec{u}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{16e²-16e+17}}* \vektor{-1 \\ 4e-4}* \vektor{-1 \\ 4e-4}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Kann man das auch irgendwie noch vereinfachen?
Weiterhin ist nach dem größten Anstiegswinkel gefragt.
Dazu steht in meinen Unterlagen nur folgendes:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial\vec{v}} [/mm] = [mm] \vec{v}*grad [/mm] f
= [mm] |\vec{v}|*|grad [/mm] f|*cos (phi)
= 1*c*cos (phi) [mm] \in [/mm] [-c,c]
Über jede Antwort wäre ich sehr dankbar!
MfG Sue
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Grüße!
Also, den Gradienten habe ich ebenso herausbekommen. Den Rest hast ja auch schon fast. 
Du mußt Dir nur klarmachen, dass es sich beim Gradienten um einen Zeilenvektor handelt, also streng formal genommen um eine Linearform! Der Gradient ist eine lineare Abbildung, in diesem Fall von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] und er ordnet jedem Vektor $v [mm] \in \IR^2$ [/mm] den Anstieg in Richtung $v$ zu - und wie? Per Skalarmultiplikation! Das ist gemeint, wenn bei Dir "Vektor mal Vektor" steht.
Dann ist auch klar, wieso die Richtung des steilsten Anstiegs immer in Richtung des Gradienten selbst zu finden ist - das Skalarprodukt ist am größten, wenn die Vektoren in die gleiche Richtung zeigen.
Um den Anstieg selbst zu berechnen, reicht es also, den Gradienten mit sich selbst skalar zu multiplizieren und das Ergebnis einmal durch seine Länge zu teilen (das reflektiert, dass $v$ ein Vektor der Länge 1 sein sollte).
Die Rechnung steht bei Dir schon, nur das Ergebnis noch nicht:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{16e^2 - 16e + 17}} \cdot ((-1)^2 [/mm] + (4e - [mm] 4)^2)$
[/mm]
Keine Ahnung, ob man das noch groß vereinfachen kann, aber das ist der steilste Anstieg.
Und für den Winkel gilt das gleiche: sobald man das als Skalarprodukt identifiziert hat, ist es nicht mehr schwer, einen Winkel zu bestimmen... viel Erfolg!
Lars
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