Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y)=ln(\wurzel{x^2+y^2}. [/mm] Berechnen Sie die Richtungsableitung an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0})=(1,1) [/mm] in Richtung [mm] v=(1,1)^T [/mm] |
Die Formel lautet ja [mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}(f(a+t*v)-f(a)). [/mm]
Eingesetzt dann [mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}f(\vektor{1 \\ 1}+\vektor{t \\ t})-f(\vektor{1 \\ 1})
[/mm]
und somit [mm] \limes_{t\rightarrow0\
}\bruch{1}{t}+ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(1+t)
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}=\infty
[/mm]
So richtig gerechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=ln(\wurzel{x^2+y^2}.[/mm]
> Berechnen Sie die Richtungsableitung an der Stelle
> [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] in Richtung [mm]v=(1,1)^T[/mm]
> Die Formel lautet ja [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}(f(a+t*v)-f(a)).[/mm]
> Eingesetzt dann [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}f(\vektor{1 \\ 1}+\vektor{t \\ t})-f(\vektor{1 \\ 1})[/mm]
>
> und somit [mm]\limes_{t\rightarrow0\
}\bruch{1}{t}+ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1}[/mm]
>
Du machst hier aus 'nem "Mal" ein "Plus".
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(1+t)[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}=\infty[/mm]
>
> So richtig gerechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
Huch. Also dann:
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1})
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2})
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*ln(1+t)
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*0=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Raiden28 |
Ich hab folgendes gerechnet:
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2*(1+t)^2}-ln\wurzel{2})
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(\wurzel{2}*\wurzel{(1+t)^2})-ln\wurzel{2}) [/mm] mit logarithmengesetze
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2}+ln\wurzel{(1+t)^2})-ln\wurzel{2})
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(1+t))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Raiden!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt, das hätte ich auch sehen können ...
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du auf diesen Ausdruck?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist ein unbestimmter Ausdruck der Art [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] . Dem kann man z.B. mit 
de l'Hospital