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Hallo, bei folgenden Aufgaben muss ich zwischen richtig oder falsch entscheiden:
1) Für jede Matrix A [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) ist die Menge [mm] I_A:= [/mm] {f [mm] \in [/mm] K[x] | f(A)=0} ein Ideal in K[x].
Die Aussage ist meiner Meinung nach RICHTIG, da I nicht leer und die anderen Idealaxiome auch erfüllt sind.
2) Für ähnliche Matrizen A, B [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) gilt [mm] I_A=I_B. [/mm]
Hier würde ich FALSCH sagen, da ich glaube, dass ähnliche Matrizen nicht das selbe Ideal besitzen müssen (jedoch bin ich nicht 100% sicher).
3) Falls für zwei Matrizen A,B [mm] \in [/mm] Mat(n,n;K) [mm] P_A(x)=P_B(x) [/mm] und [mm] \mu_A(x)=\mu_B(x) [/mm] gilt, so sind A und B ähnlich.
Das ist RICHTIG, da ähnliche Matrizen das selbe Minimal- und charakt. Polynom besitzen.
4) Es gibt eine quadratische Matrix A mit Minimalpolynom vom Grad 5, für die [mm] A^4+3A³-2A²+A+E=0 [/mm] gilt.
FALSCH, da das angegebene Polynom nur den Grad 4 hat.
5) Jede reelle quadratische Matrix A mit A³-3A²+4E=0 hat -1 als Eigenwert.
Hier fällt mir ehrlich gesagt keine logische Begründung ein, warum das gelten sollte... daher FALSCH.
6) Jede komplexe quadratische Matrix A, die der Gleichung A²-2A+E=0 genügt ist diagonalisierbar.
Ähnlich wie bei 5) kann ich hier nicht wirklich was damit anfangen... da ich das nicht als Diagonalisierbarkeitskriterium kenne, würde ich FALSCH vermuten.
7) Es gibt eine reelle quadratische Matrix A mit charakteristischem Polynom [mm] -(x-1)³(x-2)^4 [/mm] und 4-dim. Eigenraum zum Eigenwert 2.
RICHTIG, da 2 ein 4-facher EW ist und Eig(A,2)=dim 4 sein muss.
Ich wäre für Komentare sehr dankbar! =)
Eine Zusatzfrage hätte ich dann noch:
Ist eigentlich jede diagonalisierbare Matrix autom. invertierbar? Gilt die Umkehrung auch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Sa 16.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> 1) Für jede Matrix A [mm]\in[/mm] Mat(n,n;K) ist die Menge [mm]I_A:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[x] | f(A)=0} ein Ideal in K[x].
> Die Aussage ist meiner Meinung nach RICHTIG, da I nicht
> leer und die anderen Idealaxiome auch erfüllt sind.
Wenn du es dir klar gemacht hast - ja, es ist richtig.
> 2) Für ähnliche Matrizen A, B [mm]\in[/mm] Mat(n,n;K) gilt [mm]I_A=I_B.[/mm]
> Hier würde ich FALSCH sagen, da ich glaube, dass ähnliche
> Matrizen nicht das selbe Ideal besitzen müssen (jedoch bin
> ich nicht 100% sicher).
Doch, ist aber so. Setze mal [m]A^{-1}*B*A[/m] in ein Polynom f ein - dann verschlucken sich viele [m]A*A{-1}[/m]!
> 3) Falls für zwei Matrizen A,B [mm]\in[/mm] Mat(n,n;K) [mm]P_A(x)=P_B(x)[/mm]
> und [mm]\mu_A(x)=\mu_B(x)[/mm] gilt, so sind A und B ähnlich.
> Das ist RICHTIG, da ähnliche Matrizen das selbe Minimal-
> und charakt. Polynom besitzen.
Falsche Richtung - die Behauptung ist falsch.
> 4) Es gibt eine quadratische Matrix A mit Minimalpolynom
> vom Grad 5, für die [mm]A^4+3A³-2A²+A+E=0[/mm] gilt.
> FALSCH, da das angegebene Polynom nur den Grad 4 hat.
Ja.
> 5) Jede reelle quadratische Matrix A mit A³-3A²+4E=0 hat -1
> als Eigenwert.
> Hier fällt mir ehrlich gesagt keine logische Begründung
> ein, warum das gelten sollte... daher FALSCH.
Schau dir die Faktorzerlegung von [m]X^3-3X^2+4[/m] an - damit sieht man, warum es nicht sein muss.
> 6) Jede komplexe quadratische Matrix A, die der Gleichung
> A²-2A+E=0 genügt ist diagonalisierbar.
> Ähnlich wie bei 5) kann ich hier nicht wirklich was damit
> anfangen... da ich das nicht als
> Diagonalisierbarkeitskriterium kenne, würde ich FALSCH
> vermuten.
Es ist [m]X^2-2X+1[/m] das char. Polynom - wie sieht die Faktorzerlegung aus? Damit ist es diagonalisiebar.
> 7) Es gibt eine reelle quadratische Matrix A mit
> charakteristischem Polynom [mm]-(x-1)³(x-2)^4[/mm] und 4-dim.
> Eigenraum zum Eigenwert 2.
> RICHTIG, da 2 ein 4-facher EW ist und Eig(A,2)=dim 4 sein
> muss.
Nicht muss, aber sehr wohl kann - da ist eine Welt dazwischen.
> Eine Zusatzfrage hätte ich dann noch:
> Ist eigentlich jede diagonalisierbare Matrix autom.
> invertierbar? Gilt die Umkehrung auch?
Es gilt weder die eine, noch die andere Richtung.
SEcki
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