Richardson-Iteration < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Fr 19.09.2008 | | Autor: | sommersonne |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] symmetrisch und positiv definit mit Eigenwerten [mm] 0<\lambda_1\le\lambda_2\le...\le\lambda_n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Richardson-Iteration für den Relaxationsparameter
[mm] w=\bruch{2}{\lambda_1+\lambda_n}
[/mm]
konvergiert.
Berechnen Sie für
[mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }
[/mm]
[mm] b=\vektor{2 \\ -2}
[/mm]
und den Startwert
[mm] x^{0}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
zwei Iterationsschritter mit obigem Parameter w sowie [mm] w=\bruch{1}{4}. [/mm] Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung.
|
...
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das ja allgemein zeigen sollte, und nicht für die Matrix aus dem Beispiel.
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe ersteinmal die exakte Lösung ausgerechnet:
3 1 |2
1 3|-2
=>
0 -8 |8
1 3 |-2
=> [mm] -8x_2 [/mm] =8
<=> [mm] x_2=-1
[/mm]
=> [mm] x_1 [/mm] - 3=-2
<=> [mm] x_1 [/mm] = -2+3
<=> [mm] x_1 [/mm] = 1
D.h. die exakte Lösung ist [mm] \vektor{1 \\ -1}.
[/mm]
Nun habe ich zwei Iterationsschritte mit w=1/4 gemacht und was mich verwundert ist, dass ich bei [mm] x_1 [/mm] mich der exakten Lösung annähere, mich aber bei [mm] x_2 [/mm] von der exakten Lösung wieder entferne:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0 -w(A*x_0-b)
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -2})
[/mm]
= [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ 2})
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{4} \vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 -w(A*x_1-b)
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -2})
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -2})
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ 2})
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}( \vektor{3 \\ -3})
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] + [mm] \vektor{-3/4 \\ 3/4}
[/mm]
= [mm] \vektor{1/2 \\ -1/2} [/mm] + [mm] \vektor{-3/4 \\ 3/4}
[/mm]
= [mm] \vektor{-1/4 \\ 1/4}
[/mm]
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 02.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
>
Hallo,
ich habe mal gerade mein Buch aufgeschlagen, was Du auch mal tun solltest (Martin Hanke-Bourgeois "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens" Seite 706-708), da dort der von Dir zu erledigende Beweis angesprochen wird. Ist zwar schon ein bisschen her mit der Richardson-Iteration, aber gut...versuchen wir's mal. Die Frage gehört überings eher in den Bereich der numerischen Mathematik. Die Richardson Iteration ist in deiner Notation gegeben durch
[mm] $x^{(k+1)}\,=\,x^{(k)}+\omega\cdot(b-Ax^{(k)})$ [/mm] für [mm] $k=0,1,2,\ldots$
[/mm]
wobei [mm] $0<\omega\in\IR$, $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $b,x^{(0)}\in\IR^{n}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] allesamt gegeben. Beachte: Für [mm] $\omega=\frac{1}{4}$ [/mm] hast Du gerade das Gesamtschrittverfahren vorliegen.
> ich habe ersteinmal die exakte Lösung ausgerechnet:
> 3 1 |2
> 1 3|-2
> =>
> 0 -8 |8
> 1 3 |-2
>
> => [mm]-8x_2[/mm] =8
> <=> [mm]x_2=-1[/mm]
>
> => [mm]x_1[/mm] - 3=-2
> <=> [mm]x_1[/mm] = -2+3
> <=> [mm]x_1[/mm] = 1
>
> D.h. die exakte Lösung ist [mm]\vektor{1 \\ -1}.[/mm]
Das kann gut sein. Mir fällt gerade nicht mehr ein wie ich die exakte Lösung berechne.
> Nun habe ich zwei Iterationsschritte mit w=1/4 gemacht und
> was mich verwundert ist, dass ich bei [mm]x_1[/mm] mich der exakten
> Lösung annähere, mich aber bei [mm]x_2[/mm] von der exakten Lösung
> wieder entferne:
Das ist erfahrungsgemäß meist ein Anzeichen für einen Rechenfehler. Schauen wir gleich mal.
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_0 -w(A*x_0-b)[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{0 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{4} \vektor{-2 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm]
Okay. Das ist soweit richtig. Du bekommst insbesondere [mm] $x_1=\omega [/mm] b$ raus.
> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1 -w(A*x_1-b)[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm] + [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{3 \\ -3})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] + [mm]\vektor{-3/4 \\ 3/4}[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] + [mm]\vektor{-3/4 \\ 3/4}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1/4 \\ 1/4}[/mm]
Okay da steckt ein Rechenfehler drin. Ich verbessere den gleich mal:
> [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1 -w(A*x_1-b)[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}(\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }* \vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{1 \\ -1}[/mm] + [mm]\vektor{-2 \\ 2})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}( \vektor{\red{-1} \\ \red{1}})[/mm]
> = [mm]\vektor{1/2 \\ -1/2}[/mm] + [mm]\vektor{\red{1}/4 \\ \red{-1}/4}[/mm]
> = [mm]\vektor{\red{3}/4 \\ \red{-3}/4}[/mm]
und damit erhälst Du hier genau [mm] $x_2=2\omega b-2\omega^2 [/mm] b$ und jetzt stimmt es auch. Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte.
> Liebe Grüße
> sommer
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Denny22,
vielen vielen Dank für deine Antwort! Du hast mir sehr weitergeholfen, ich wusste gar nicht dass das schon zur Numerik gehört.
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
|
