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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 06.01.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | führen Sie für die summierte Trapezformel [mm] I_T,h [/mm] = [mm] I_T,n [/mm] eine Richardson-Extrapolation mit Schrittweiten [mm] h_1 [/mm] = b-a(d.h. n=1) und [mm] h_2 [/mm] = [mm] \bruch{h_1}{2}(d.h. [/mm] n=2) durch. Welcher Ihnen bekannten Quadraturformel entspricht der dadurch verbesserte Wert? |
Ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Habe leider kein beispiel vorliegen und durch googlen auch nichts hilfreiches gefunden.
Zu dem was ich bisher gemacht habe:
Wir haben ja die summierte Trapezformel:
[mm] I_T,_n(f) [/mm] = h* ( [mm] \bruch{1}{2} f(x_0) [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n-1} f(x_j) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} f(x_n))
[/mm]
Dort habe ich nun jeweils [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] eingesetzt. Bringt mir das was? bei [mm] h_1 [/mm] hatte ich dann, dass die Summe von 1 bis 0 läuft (da n=1 ist) und hab das dann mit Indexverschiebung wieder gerade gerückt. Also den Term für j=0 abgezogen und in der Summe hnzugefügt.
Zudem haben wir im Skript Formeln:
[mm] I_{h1} \approx I_{exakt} [/mm] + c* [mm] h_1^{p}
[/mm]
[mm] I_{h2} \approx I_{exakt} [/mm] + c* [mm] h_2^{p}
[/mm]
[mm] I_{exakt} \approx I_{h2} [/mm] + [mm] \bruch{I_{h2} - I_{h1}}{\bruch{h_1}{h_2}^{p} -1}
[/mm]
Da weiß ich aber irgendwie nicht mit umzugehen. Wie kommt ich denn auf [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] oder sind das die Sachen, die ich mit der summierten Trapezformel berechnet hab? Zudem bin ich dadurch verwirrt, dass [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2 [/mm] von [mm] I_{exakt} [/mm] abhängig sind...Das bildet für mich so eine Art Teufelskreis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> führen Sie für die summierte Trapezformel [mm]I_T,h[/mm] = [mm]I_T,n[/mm]
> eine Richardson-Extrapolation mit Schrittweiten [mm]h_1[/mm] =
> b-a(d.h. n=1) und [mm]h_2[/mm] = [mm]\bruch{h_1}{2}(d.h.[/mm] n=2) durch.
> Welcher Ihnen bekannten Quadraturformel entspricht der
> dadurch verbesserte Wert?
>
> Ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll. Habe leider kein beispiel vorliegen und
> durch googlen auch nichts hilfreiches gefunden.
> Zu dem was ich bisher gemacht habe:
> Wir haben ja die summierte Trapezformel:
> [mm]I_T,_n(f)[/mm] = h* ( [mm]\bruch{1}{2} f(x_0)[/mm] + [mm]\summe_{j=1}^{n-1} f(x_j)[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2} f(x_n))[/mm]
> Dort habe ich nun jeweils [mm]h_1[/mm] und
> [mm]h_2[/mm] eingesetzt. Bringt mir das was?
Ja! Das ist schon mal der richtige Ansatz.
> bei [mm]h_1[/mm] hatte ich dann,
> dass die Summe von 1 bis 0 läuft (da n=1 ist) und hab das
> dann mit Indexverschiebung wieder gerade gerückt.
Damit hast Du alles kaputt gemacht. Die Summe ist in diesem Fall leer, also = 0.
> Also den
> Term für j=0 abgezogen und in der Summe hnzugefügt.
> Zudem haben wir im Skript Formeln:
> [mm]I_{h1} \approx I_{exakt}[/mm] + c* [mm]h_1^{p}[/mm]
>
> [mm]I_{h2} \approx I_{exakt}[/mm] + c* [mm]h_2^{p}[/mm]
>
> [mm]I_{exakt} \approx I_{h2}[/mm] + [mm]\bruch{I_{h2} - I_{h1}}{\bruch{h_1}{h_2}^{p} -1}[/mm]
Setze die richtigen Formeln für die Näherungen ein und fertig! Dabei ist p=2 zu setzen! Die Trapezregel liefert nämlich für zweimal stetig differenzierbare Integranden ein Näherung zweiter Ordnung.
Gruß,
Wolfgang
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