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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:08 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Nachdem ich mich nun mit dem Lemma von Gauß beschäftigt habe, welches man für den Beweis vom Reziprozitätssatz benötigt, bin ich gerade beim Reziprozitätssatz angekommen.
Um auch den besser zu verstehen, habe ich den Beweis durchgearbeitet, und ein paar Fragen entdeckt, die ich mir selber nicht beantworten kann. Ich hoffe, dass mir jemand dabei behilflich sein kann!
Reziprozitätssatz :
Sind p, q ungerade Primzahlen, dann gilt
[mm] ( \bruch{q}{p} ) ( \bruch{p}{q} ) = (-1)^{ \bruch{p-1}{2} \bruch{q-1}{2} } [/mm].
Für den Beweis dieses Satzes wird bei uns im Skript eine Definition und ein weiterer Hilfssatz benötigt.
DEFINITION:
Seien p,q ungerade Primzahlen mit [mm] p \ne q [/mm].
[mm] S(q,p) := \summe_{k=1}^{ \bruch{p-1}{2} } \left[ \bruch{kq}{p} \right] [/mm]
wobei [mm] \left[ x \right] [/mm] die größte ganze Zahl unterhalb von x ist.
( 1. Frage: Gibt es für diese Menge einen Namen? )
HILFSSATZ:
[mm] S(q,p) + S(p,q) = \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{q-1}{2} [/mm]
Beweis vom Reziprozitätssatz :
Sei [mm] T = \{ 1, ... , \bruch{p-1}{2} \}, k \in T [/mm]
(*) [mm] k \cdot q = p \cdot \left[ \bruch{kq}{p} \right] + u_k , \ 1 \le u_k \le p-1 [/mm]
Definiere
[mm] v_k := u_k [/mm] wenn [/mm] 1 [mm] \le u_k \le \bruch{p-1}{2} [/mm] [/mm]
[mm] v_k := p - u_k [/mm] wenn [mm] \bruch{p-1}{2} < u_k \le p - 1 [/mm]
Die Abbildung [mm] \lambda: T \to T \ ; \ \lambda(k) = v_k [/mm] ist ordentlich definiert und bijektiv.
Sei [mm] T_1 = \{ k \in T \ | \ u_k = v_k \} [/mm] und
[mm] T_2 = \{ k \in T \ | \ u_k = p - v_k \} [/mm] .
Summiere die Gleichung (*) über k und erhalte:
[mm] q \cdot \bruch{1}{2} \cdot \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{p + 1}{2} = p \cdot S(q,p) + \summe_{ k \in T } u_k [/mm]
( 2. Frage: Warum ist denn links vom Gleichheitszeichen [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{p + 1}{2} = \summe_{k=1}^{ \bruch{p-1}{2} } k [/mm] ? )
[mm] \Rightarrow q \cdot \bruch{ p^2 - 1}{8} = p \cdot S(q,p) + \summe_{ k \in T_1 } u_k + \summe_{ k \in T_2 } u_k [/mm]
[mm] \Rightarrow q \cdot \bruch{ p^2 - 1}{8} = p \cdot S(q,p) + \summe_{ k \in T_1 } v_k + \summe_{ k \in T_2 } ( p - v_k ) [/mm]
( nun, ab hier kann ich die folgenden 2 Zeilen nicht ganz nachvollziehen... )
[mm] = p \cdot S(q,p) + \summe_{ k \in T_1 } v_k - 2 \cdot \summe_{ k \in T_2 } v_k * | T_2 | \cdot p [/mm]
[mm] = p \cdot S(q,p) + \bruch{p^2 -1 }{8} - 2 \cdot \summe_{ k \in T_2 } v_k * | T_2 | \cdot p [/mm]
[mm] \Rightarrow ( q - 1 ) \bruch{ p^2 -1 }{8} = p \cdot S(q,p) - 2 \cdot \summe_{ k \in T_2 } v_k * | T_2 | \cdot p [/mm]
Reduziere mod 2 und erhalte:
( Frage 3: Warum reduziert man ausgerechnet mod 2 ? )
( [red] Das nun kommende Ergebnis dieser Reduzierung kann ich nicht verstehen [mm] [\red] [/mm] )
[mm] 0 \equiv S(q,p) + | T_2 | \mod 2 [/mm]
Es gilt: [mm] | T_2 | = \mu_p (q) [/mm]
( Frage 4: Warum gilt das? Warum stehen in der Menge [mm] T_2 [/mm] nur negative Vertreter ? )
Es folgt:
[mm] S(q,p) = \mu_p(q) \mod 2 [/mm]
[mm] S(p,q) = \mu_q(p) \mod 2 [/mm]
[mm] \Rightarrow S(q,p) + S(p,q) = \mu_p(q) + \mu_q(p) \mod 2 [/mm]
[mm] (-1)^{\mu_p(q)} \cdot (-1)^{\mu_q(p) } = (-1 )^{ \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{ q-1 }{2} [/mm]
Nach dem Lemma vom Gauß folgt die Behauptung.
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Fr 31.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Maja22 |
Hi Ich habe das gleiche Probleme bin zwar inszwischen im Beweis zur deiner Frage drei gekommen komme aber leide nicht weiter
AB HIER
> Reduziere mod 2 und erhalte:
>
> ( Frage 3: Warum reduziert man ausgerechnet mod 2 ? )
>
> ( Das nun kommende Ergebnis dieser Reduzierung kann ich
> nicht verstehen [mm][\red][/mm] )
>
> [mm]0 \equiv S(q,p) + | T_2 | \mod 2 [/mm]
>
> Es gilt: [mm]| T_2 | = \mu_p (q)[/mm]
>
> ( Frage 4: Warum gilt das? Warum stehen in der Menge [mm]T_2[/mm]
> nur negative Vertreter ? )
>
> Es folgt:
>
> [mm]S(q,p) = \mu_p(q) \mod 2[/mm]
>
> [mm]S(p,q) = \mu_q(p) \mod 2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow S(q,p) + S(p,q) = \mu_p(q) + \mu_q(p) \mod 2[/mm]
>
> [mm](-1)^{\mu_p(q)} \cdot (-1)^{\mu_q(p) } = (-1 )^{ \bruch{p-1}{2} \cdot \bruch{ q-1 }{2}[/mm]
>
> Nach dem Lemma vom Gauß folgt die Behauptung.
>
Falls du inzwischen schon den Beweis verstanden hast kannst mir bitte helfen?
Vielen Dank für deine Mühe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 29.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Maja,
sorry, aber das ist erstens ziemlich lange her und zweitens habe ich ihn nicht wirklich verstanden gehabt, so dass ich Dir nicht richtig kompetent helfen kann.
Viele Grüße
Irmchen
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