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| Aufgabe | Sei
[mm] f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)
[/mm]
[mm] g(x)=b_0(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_m)
[/mm]
Dann ist [mm] Res(f,g)=a_0^mb_0^n \Pi_i\Pi_k (x_i-y_k)
[/mm]
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Hallo!
Es gibt im Buch "Moderne Algebra I" von van der Waerden, den ich allerding nicht ganz verstehe.
...Da die Linearformen [mm] x_i-y_k [/mm] untereinander teilerfremd sind, muss die Resultante durch das Produkt
1) [mm] S=a_0^m b_0^n\Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)
[/mm]
teilbar sein. Man kann das Produkt zweierlei umformen:
Erstens folgt aus:
a) [mm] g(x)=b_0 \Pi_k(x-y_k)
[/mm]
durch Substitution [mm] x=x_i [/mm] und Produktbildung
[mm] \Pi_i g(x_i)=b_0^n \Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)
[/mm]
mithin
2) [mm] S=a_0^m \Pi_i g(x_i)
[/mm]
Zweitens folgt aus
b) [mm] f(x)=a_0\Pi_i (x-x_i)=(-1)^n a_0 \Pi_i(x_i-x)
[/mm]
in der selben Weise
3) [mm] S=(-1)^{nm}b_0^n \Pi_k f(y_k)
[/mm]
Aus (2) sieht man, dass es ganz und homogen vom Grade n in den b ist und aus (3), dass es ganz und homogen vom Grade m in den a ist. Res(f,g) hat aber die selben Gradzahlen und ist durch S teilbar;
Also muss Res(f,g) mit S bis auf einen ganzen Zahlenfaktor übereinstimmen. Der Vergleich derjenigen Glieder, die die höchste Potenz von [mm] b_m [/mm] enthalten ergibt sowohl in Res(f,g), als auch in S ein Glied [mm] +a_0^mb_m^n; [/mm] daher hat der Zahlenfaktor den Wert 1 und es ist Res(f,g)=S.
Das ist der Beweis.
Bis zum letzten Absatz versteh ich das.
Was ist mit ganz und homogen vom Grade n in den b gemeint?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Martin!
> Sei
> [mm]f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)[/mm]
>
> [mm]g(x)=b_0(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_m)[/mm]
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> Dann ist [mm]Res(f,g)=a_0^mb_0^n \Pi_i\Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
>
> Hallo!
>
> Es gibt im Buch "Moderne Algebra I" von van der Waerden,
> den ich allerding nicht ganz verstehe.
>
> ...Da die Linearformen [mm]x_i-y_k[/mm] untereinander teilerfremd
> sind, muss die Resultante durch das Produkt
> 1) [mm]S=a_0^m b_0^n\Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
> teilbar sein.
> Man kann das Produkt zweierlei umformen:
>
> Erstens folgt aus:
> a) [mm]g(x)=b_0 \Pi_k(x-y_k)[/mm]
> durch Substitution [mm]x=x_i[/mm] und
> Produktbildung
> [mm]\Pi_i g(x_i)=b_0^n \Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
> mithin
>
>
> 2) [mm]S=a_0^m \Pi_i g(x_i)[/mm]
>
>
> Zweitens folgt aus
> b) [mm]f(x)=a_0\Pi_i (x-x_i)=(-1)^n a_0 \Pi_i(x_i-x)[/mm]
> in
> der selben Weise
> 3) [mm]S=(-1)^{nm}b_0^n \Pi_k f(y_k)[/mm]
>
>
> Aus (2) sieht man, dass es ganz und homogen vom Grade n in
> den b ist und aus (3), dass es ganz und homogen vom Grade m
> in den a ist. Res(f,g) hat aber die selben Gradzahlen und
> ist durch S teilbar;
> Also muss Res(f,g) mit S bis auf einen ganzen Zahlenfaktor
> übereinstimmen. Der Vergleich derjenigen Glieder, die die
> höchste Potenz von [mm]b_m[/mm] enthalten ergibt sowohl in Res(f,g),
> als auch in S ein Glied [mm]+a_0^mb_m^n;[/mm] daher hat der
> Zahlenfaktor den Wert 1 und es ist Res(f,g)=S.
>
>
> Das ist der Beweis.
> Bis zum letzten Absatz versteh ich das.
>
>
> Was ist mit ganz und homogen vom Grade n in den b gemeint?
Also: es geht hier um Polynome bzw. gebrochenrationale Funktionen in [mm] $k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] bzw. [mm] $k(x_1, [/mm] dots, [mm] x_n, y_1, \dots, y_m)$. [/mm] Eine gebrochenrationale Funktion heisst ganz, wenn sie in [mm] $k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] liegt.
(Genauso wie im Fall [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IQ$, [/mm] ein Element aus [mm] $\IQ$, [/mm] also eine rationale Zahl, heisst ganz wenn es in [mm] $\IZ$ [/mm] liegt, also eine ganze Zahl ist.)
Und ein Polynom $f [mm] \in k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] heisst homogen, wenn in jedem auftretenden Monom die Exponentensumme gleich ist, also etwa das Polynom [mm] $x_1 x_2 y_1 [/mm] - [mm] x_3^2 y_2$ [/mm] ist homogen (die Exponentensumme ist immer 3), und [mm] $x_1^2 [/mm] - [mm] x_2$ [/mm] ist nicht homogen (die Summe ist mal 2, mal 1). Diese Exponentensumme nennt man dann den (Homogenitaets-)Grad.
Insbesondere, wenn $f$ und $g$ homogen vom gleichen Grad und ganz sind und $f$ ein Teiler von $g$ ist, dann gibt es ein ganzes Polynom $h$ mit $f h = g$. Man kann zeigen, dass dieses ebenfalls homogen sein muss, und da der Homogenitaetsgrad additiv ist, gilt [mm] $\deg [/mm] f + [mm] \deg [/mm] h = [mm] \deg [/mm] g = [mm] \deg [/mm] f$, also [mm] $\deg [/mm] h = 0$. Damit ist $h$ also eine Konstante aus $k$.
Wenn man also noch zeigen kann, dass der Koeffizient einem Monom in $f$ und $g$ der gleiche ist, dann muss der Faktor $1$ sein, also gilt $f = g$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 26.04.2008 | | Autor: | martin1984 |
Hi Felix!
Das hast du total gut erklärt. Jetzt ist es mir klar, denke ich!
Vielen Dank 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Martin,
> Das hast du total gut erklärt. Jetzt ist es mir klar, denke
> ich!
schoen! :) Das mit der Ganzheit geht noch etwas allgemeiner, siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Hier wurde benutzt, dass $R = [mm] k[x_1, \dots, [/mm] ...]$ ganzabgeschlossen ist, d.h. das der ganze Abschluss von $R$ in seinem Quotientenkoerper $Q = [mm] k(x_1, \dots, [/mm] ...)$ ganzabgeschlossen ist. Deswegen sind die Elemente in $Q$, die ganz ueber $R$ sind, gerade die Elemente aus $R$. (Geht genauso wie $R = [mm] \IZ$ [/mm] und $Q = [mm] \IQ$.) [/mm] Der Begriff der Ganzheit kommt urspruenglich aus der algebraischen Zahlentheorie, dort wollte man endliche Koerpererweiterungen von [mm] $\IQ$ [/mm] untersuchen und dort drinnen ein Analogon zu [mm] $\IZ$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] finden -- man hat dann einfach den ganzen Abschluss von [mm] $\IZ$ [/mm] in der Koerpererweiterung genommen; dieser Ring ist dann der Ganzheitsring dort.
LG Felix
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