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| Aufgabe | | Geben Sie in [mm] \IZ_{192} [/mm] eine Lösung von [mm] x*\overline{156} [/mm] = [mm] \overline{108} [/mm] an. |
Ich weiss nicht wie man dabei vorgeht, ausser planvoll Raten. Es wurd meiner Meinung nach nur sehr dürftig am Rand besprochen, wie geht man bei so einer Aufgabe vor?
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Hi!
Wähle vorab zwei Vertreter der Äquivalenzklassen [mm] $\overline{156}$ [/mm] und [mm] $\overline{192}$, [/mm] der Einfachheit halber $156$ und $192$.
Du möchtest das Inverse von $156$ bestimmen.
Berechne den [mm] $\mathrm{ggT}$ [/mm] von $156$ und $192$ mithilfe des erweiterten euklidischen Alogrithmus. Wenn er 1 ist (das ist er augenscheinlich), kannst du $156$ invertieren. Mithilfe der Darstellung [mm] $\mathrm{ggT}(156,192)=x*156+y*192;~x,y\in\IZ$ [/mm] (die du ebenfalls mithilfe des EEA erlangst), kannst du dann fortfahren (Hinweis: [mm] $\mathrm{ggT}(156,192)=1$, [/mm] was ist 1 im besagten Körper?).
Jetzt kannst die Gleichung problemlos nach $x$ auflösen.
Grüße, Stefan.
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Also bei mir kommt ggT(156,192) = 12 raus?
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Hallo DrNetwork,
> Also bei mir kommt ggT(156,192) = 12 raus? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo!
LG
schachuzipus
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Bei der Antwort von Stefan-auchLotti wurde aber die Bedingung =1 genannt was mach ich wenn da etwas anderes raus kommt?
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> Bei der Antwort von Stefan-auchLotti wurde aber die
> Bedingung =1 genannt was mach ich wenn da etwas anderes
> raus kommt?
Da hab ich mich doch glatt verguckt! Der ggT ist natürlich nicht 1. Wie es sonst gehen soll, weiß ich leider auch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie in [mm]\IZ_{192}[/mm] eine Lösung von [mm]x*\overline{156}[/mm] =
> [mm]\overline{108}[/mm] an.
>
> Ich weiss nicht wie man dabei vorgeht, ausser planvoll
> Raten. Es wurd meiner Meinung nach nur sehr dürftig am
> Rand besprochen, wie geht man bei so einer Aufgabe vor?
Sei $d = ggT(156, 192)$. Dann hattet ihr vielleicht, dass genau dann so ein $x$ existiert, wenn $d$ ein Teiler von 108 ist?
Wenn dies der Fall ist, finde erstmal ein $x [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $x * [mm] \overline{156/d} [/mm] = [mm] \overline{108/d}$ [/mm] in [mm] $\IZ_{192/d}$. [/mm] Da kannst du wie gewohnt das Inverse berechnen, da $ggT(156/d, 192/d) = d/d = 1$ ist.
Diese Loesung (nennen wir sie [mm] $\overline{x_0}$) [/mm] kannst du dann einfach uebernehmen; alle Loesungen sind durch [mm] $\overline{x_0 + k 192/d}$, [/mm] $k [mm] \in \{ 0, \dots, d-1 \}$.
[/mm]
LG Felix
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Meinst du sowas:
ggT(192,156) = 12
[mm] x*\frac{192}{12} [/mm] = [mm] \frac{108}{12} [/mm]
x*13=9 mod(16)
ggT(13,16) = 1
1=-4*16+5*13 mod(16)
Ich weiss das 5 das Inverse zu 13 ist aber wieso ist es das? Nun ja wenn man weiterrechnet:
x*13*5=9*5 mod(16)
x*65 = 45 mod(16), 16*4=64 also 65 = 1
x=45
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Meinst du sowas:
>
> ggT(192,156) = 12
>
> [mm]x*\frac{192}{12}[/mm] = [mm]\frac{108}{12}[/mm]
> x*13=9 mod(16)
> ggT(13,16) = 1
> 1=-4*16+5*13 mod(16)
Ja.
> Ich weiss das 5 das Inverse zu 13 ist aber wieso ist es
> das?
Na, weil [mm] $\overline{5} \cdot \overline{13} [/mm] = [mm] \overline{5*13} [/mm] = [mm] \overline{1 + 4*16} [/mm] = [mm] \overline{1}$ [/mm] in [mm] $\IZ_{16}$ [/mm] ist.
> Nun ja wenn man weiterrechnet:
>
> x*13*5=9*5 mod(16)
> x*65 = 45 mod(16), 16*4=64 also 65 = 1
> x=45
Du kannst auch noch ein kleineres $x$ finden. Aber sonst passt es.
Kannst aber auch nochmal eine Probe machen.
LG Felix
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| Aufgabe | | Gleiche Aufgabe nur [mm] \overline{323}*x=\overline{38} [/mm] in [mm] \IZ_{247} [/mm] |
ggT(247,323) = 19
[mm] \overline{323/19}*x=\overline{38/19}
[/mm]
[mm] \overline{17}*x=\overline{2}
[/mm]
ggT(13,17) = 1
1 = [mm] \underbrace{4*13}_{=0}-\underbrace{3*17}_{=-1} [/mm] mod(13)
[mm] \overline{-51}*x=\overline{-6}
[/mm]
[mm] -x=\overline{-6}
[/mm]
[mm] x=\overline{6}
[/mm]
Stimmts? Weil das Minus hatte mich zuerst etwas verwirrt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 30.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gleiche Aufgabe nur [mm]\overline{323}*x=\overline{38}[/mm] in
> [mm]\IZ_{247}[/mm]
> ggT(247,323) = 19
>
> [mm]\overline{323/19}*x=\overline{38/19}[/mm]
> [mm]\overline{17}*x=\overline{2}[/mm]
>
> ggT(13,17) = 1
> 1 = [mm]\underbrace{4*13}_{=0}-\underbrace{3*17}_{=-1}[/mm]
> mod(13)
> [mm]\overline{-51}*x=\overline{-6}[/mm]
Soweit ok. Aber:
> [mm]-x=\overline{-6}[/mm]
Wo kommt das $-x$ her?!? Es ist doch $-51 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{13}$!
[/mm]
> [mm]x=\overline{6}[/mm]
>
> Stimmts? Weil das Minus hatte mich zuerst etwas verwirrt?
Nein, es stimmt nicht. Mach doch einfach mal eine Probe, dann siehst du es sofort. Und dauert mit nem Taschenrechner oder nem Computer auch wirklich nur ein paar Sekunden.
LG Felix
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Wie muss das denn richtig aussehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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