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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Die Funktion sei
$f : [mm] \IZ_{} [/mm] -> [mm] \IZ_{} [/mm] / 42 [mm] \IZ_{} [/mm] $
$a [mm] \mapsto \overline{r} [/mm] $
$a = 42*q+r$ mit $ [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 42,q,r [mm] \in \IZ_{} [/mm] $
Beweisen oder widerlegen Sie mittels Gegenbeispiel die gegebenen Aussagen
1.f ist injektiv
2. f ist surjektiv |
Hallo,
grad frisch reingeworfen in diesem Thema weis ich nicht so recht wie ich hiermit umgehen soll.
Ich habe mir die Restklassenringe im wiki gut durchgelesen.
Meine Elmente im Modulo 42 Ring sind ja $0-m1$ also mein [mm] \overline{r} [/mm] oder ?.
Nun muss doch für die injektivität gelten, dass es zu jedem a höchstens ein solches Element aus [mm] \overline{r} [/mm] gibt.
Das waren meine ersten Gedanken dazu.
Wie es weitergeht weis ich leider noch nicht, sofern die ersten Gedanken dazu überhaupt in die richtige Richtung gehen
lg
Micha
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Hallo Coup,
> [mm]f : \IZ_{} -> \IZ_{} / 42 \IZ_{}[/mm]
> [mm]a \mapsto \overline{r}[/mm]
>
> [mm]a = 42*q+r[/mm] mit [mm]0\le r \le 42,q,r \in \IZ_{}[/mm]
wir haben hier also eine Abbildung f, welche ganze Zahlen auf ihre Restklasse modulo 42 wirft - man nennt eine solche Abbildung übrigens kanonische Projektion, falls du den Begriff schon mal gehört haben solltest. Es werden also ganze Zahlen auf ihren Rest bei der Division mit 42 abgebildet (z.B. $3 [mm] \mapsto \overline{3}, [/mm] 52 [mm] \mapsto \overline{52} [/mm] = [mm] \overline{10}, [/mm] 42 [mm] \mapsto \overline{0}$) [/mm] Übrigens, es müsste eigentlich heißen $0 [mm] \le [/mm] r < 42$.
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> 1.f ist injektiv
> 2. f ist surjektiv
> Hallo,
> grad frisch reingeworfen in diesem Thema weis ich nicht so
> recht wie ich hiermit umgehen soll.
> Ich habe mir die Restklassenringe im wiki gut
> durchgelesen.
> Meine Elmente im Modulo 42 Ring sind ja [mm]0-m1[/mm] also mein
> [mm]\overline{r}[/mm] oder ?.
Deine Elemente in [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 42\IZ\$ [/mm] ich nenne diese Menge im folgenden [mm] $\IZ_{42} [/mm] := [mm] \{[0],[1],\dots,[41]\}$ [/mm] Also deine Aussage trifft zu.
> Nun muss doch für die injektivität gelten, dass es zu
> jedem a höchstens ein solches Element aus [mm]\overline{r}[/mm]
> gibt.
Für Injektivität muss gelten [mm] $\forall [/mm] z,z' [mm] \in \IZ: [/mm] f(z) = f(z') [mm] \Rightarrow [/mm] z = z'$. Also man nehme zwei ganze Zahlen und wenn sie das gleiche Bild unter f haben, müssen sie gleich sein. Ist das hier wirklich der Fall? Überlege mal welchen Rest die ganzen Zahlen 0, 42, 84 bei der Division mit 42 lassen. Sie werden nämlich alle auf die gleiche Äquivalenzklasse abgebildet. Das ist ein Widerspruch zur Injektivität.
Ein weiteres Beispiel zur Anschaulichkeit wäre die Menge [mm] $\IZ_{2} [/mm] = [mm] \{[0],[1]\}$ [/mm] der Restklassen modulo 2. Schließlich ergibt die Division von ganzen Zahlen mit 2 entweder einen Rest von 0 (gerade Zahlen) oder einen Rest von 1 (ungerade Zahlen).
> 2. f ist surjektiv
Surjektivität bedeutet [mm] $\forall \bar{z} \in \IZ_{42} [/mm] ~ [mm] \exists [/mm] z [mm] \in \IZ: [/mm] f(z) = [mm] \overline{z}$. [/mm] Also jede Restklasse aus [mm] $\IZ_{42}$ [/mm] hat ein Urbild unter f in [mm] $\IZ$. [/mm] Dies ist korrekt, da bereits laut Definition der Rest (bzw. alle möglichen Reste) $r [mm] \in \IZ$ [/mm] liegen und somit alle Elemente in [mm] $\IZ_{42}$ [/mm] erreicht werden können. Formaler: Sei [mm] $\overline{z} \in \IZ_{42}$ [/mm] beliebig, dann existiert ein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $z = 42 [mm] \cdot [/mm] q +r$ und $r [mm] \in \{0,1,\dots,41\}$, [/mm] also $f(z) = [mm] \overline{r}$ [/mm] und dies gilt für alle Elemente in [mm] $\IZ_{42}$ [/mm] wie oben beschrieben. Daher ist f surjektiv.
Bijektiv also injektiv und surjektiv wäre die Abbildung nur wenn n (also modulo n) = 0, weil es dann die Identität auf [mm] $\IZ$ [/mm] ausdrücken würde.
> Das waren meine ersten Gedanken dazu.
> Wie es weitergeht weis ich leider noch nicht, sofern die
> ersten Gedanken dazu überhaupt in die richtige Richtung
> gehen
Ich weiß es ja selbst, wie man manchmal einfache Sachen übersieht oder einfach an einer Stelle einfach nicht weiterkommt :) Daher freue ich mich auch selbst mal helfen zu können.
> lg
> Micha
>
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Coup |
Vielen Dank Joe,
Der Tag war sehr lang um das nun zu verinnerlichen.
Kannst du morgen vielleicht nochmal reinschauen falls ich eine Frage habe ?
Ich werde morgen früh gestärkt weitermachen.
lg
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Coup |
> Ein weiteres Beispiel zur Anschaulichkeit wäre die Menge
> [mm]\IZ_{2} = \{[0],[1]\}[/mm] der Restklassen modulo 2.
> Schließlich ergibt die Division von ganzen Zahlen mit 2
> entweder einen Rest von 0 (gerade Zahlen) oder einen Rest
> von 1 (ungerade Zahlen).
Hi,
dein genanntes Beispiel zur Veranschaulichung im Modulo 2 Restklassenring wäre doch injektiv oder ?
0->0
1->1
Somit wäre hier doch die Ungleichheit [mm] $0\not=1$, [/mm] also injektiv ?
lg
Micha
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Hallo Coup,
du musst dir noch eine Abbildung dazu denken, z.B. $g: [mm] \IZ \rightarrow \IZ_2: [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z}$. [/mm] Dann wäre nämlich diese Abbildung keinesfalls injektiv, da alle gerade Zahlen auf [mm] $\overline{2k} [/mm] = [mm] \overline{0}$ [/mm] und alle ungerade Zahlen auf [mm] $\overline{2k'+1} [/mm] = [mm] \overline{1}$ [/mm] abgebildet werden. In meinem Beispiel waren $k,k' [mm] \in \IZ$. [/mm] Somit kannst du kaum davon sprechen, dass zwei ganze Zahlen, deren Bilder unter g gleich sind, auch selbst gleich sind, denn $g(2) = g(4) [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \not= [/mm] 4$.
Wenn du das Beispiel auf $h: [mm] \{0,1\} \Rightarrow \IZ_2: [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z}$ [/mm] veränderst und du somit nur die Zuordnungen $0 [mm] \mapsto \overline{0}, [/mm] 1 [mm] \mapsto \overline{1}$ [/mm] hättest, wäre diese Abbildung injektiv und surjektiv, also bijektiv. Das stimmt auf diesen Fall bezogen schon, aber im Allgemeinen nicht.
Grüße
Joe
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