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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Do 09.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich bereite mich eigentlich auf meine Diplomprüfung in Zahlentheorie vor, aber meine Algebra Vorlesung ist schon etwas länger her und, um ehrlich zu sein, lag mir Algebra auch nie besonders :-(... Deswegen versuche ich im Moment erstmal meine Defizite bzgl Algebra, die in der Kryptographie - Vorlesung auftauchen zu bereinigen..
Ich bin in einem Buch auf den Begriff des Normalteilers wieder gestoßen und habe leider einigen Unklarheiten :-(.
Es geht hauptsächlich darum zu zeigen, dass es zu jedem Normalteiler [mm] N \subset G [/mm] einer Gruppe G einen Gruppenhomomorphismus
[mm] \phi : G \to G' [/mm] gibt mit [mm] ker \phi = N [/mm].
Es wurde im Buch die Verknüpfung in [mm] G / N[/mm] derfiniert und somit klar, dass [mm] G / N [/mm] eine Gruppe ist.
Weiterhin wurde die kanonische Projektion
[mm] \pi : G \to G / N [/mm]
[mm] a \to aN [/mm] definiert und erwähnt, dass dies ein surjektiver Gruppenhomomorphismus sei mit [mm] ker \pi = N [/mm]
Und nun zu meinen Unklarheiten....
1. Wie kann ich mir diese kanonische Projektion vorstellen? Wird jeden Gruppenelement a eine Menge zugeordnet?
2. Warum ist [mm] ker \pi = N [/mm] ?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 09.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
> 1. Wie kann ich mir diese kanonische Projektion vorstellen?
> Wird jeden Gruppenelement a eine Menge zugeordnet?
Genau, und zwar nicht nur irgendeine Menge, sondern ihre Restklasse, d.h. [mm] $\pi:x\mapsto[x]=xN$. [/mm] Die Elemente in $G/N$ sind ja genau die Mengen der Form $xN$ für ein [mm] $x\in [/mm] G$.
> 2. Warum ist [mm]ker \pi = N[/mm] ?
Es gilt: Ist [mm] $U\le [/mm] G$ eine Untergruppe von G, so gilt [mm] $\forall x\in G:xU=U\gdw x\in [/mm] U$.
Beweis:
[mm] ($\Rightarrow$) [/mm] Es ist [mm]1\in U[/mm], also wegen $xU=U$ auch [mm] $x=x\cdot 1\in [/mm] U$.
[mm] ($\Leftarrow$) $xU\subset [/mm] U$ ist klar, da [mm]x\in U[/mm]. Ist nun [mm]y\in U[/mm] vorgegeben, so ist [mm]x^{-1}y\in U[/mm] und somit [mm] $x(x^{-1}y)=y, [/mm] also auch [mm]xU\supset U[/mm].
Nun ist ja $N$ ist das neutrale Element in $G/N$. Nach Obigem ist also [mm] $x\in\ker\pi\gdw\pi(x)=_{\text{Def}}xN=N\gdw x\in [/mm] N$. Also ist [mm] $\ker \pi=N$.
[/mm]
Gruß, Robert
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