Restklassen modulo n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Di 02.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo. Ich habe hier eine Aufgabe. Ich möchte diese Aufgabe lösen aber ich brauche paar beispiele und ein anfang. Danke
AUFGABE:
Sie n eine beliebige fest vorgegebene natürliche Zahl [mm] \ge1. [/mm] Eine RESTKLASSE modulo n ist per Definition eine Teilmenge M von [mm] \IZ, [/mm] die die folgenden Eigenschaften hat.
R1) [mm] \emptyset \not=M
[/mm]
R2) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] M : n teilt b-a
R3) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M, b [mm] \in \IZ: [/mm] Wenn n die Differenz b-a teilt, dan gilt b [mm] \in [/mm] M.
(a) Seien M, N Restklassen modulo n. Man zeige:
M+N:= {z [mm] \in \IZ |\exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M, b [mm] \in [/mm] N: z=a+b}
(zwieschen M+N, genau unter plus Zeichen steht ein kleine n)
ist eine Restklasse modulo n.
(b) Für alle a,b [mm] \in \IZ [/mm] gilt
[a]n +n [b]n = [a+b]n.
(c) Man gebe die Verknüpfungstafel für [mm] \IZ_{4} [/mm] an. In der Tafell Sollten nur die Symbole [mm] [0]_{4}, [1]_{4}, [2]_{4}, [3]_{4} [/mm] auftretten. Kann jemand bitte mir einzeln erklären was das hier alles ist? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 02.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Serif!
Mit [mm] $[a]_n$ [/mm] ist der Rest von $a$ bei Division durch $n$ gemeint, oder auch der Wert $c$ in der eindeutigen Darstellung [mm] $a=b\cdot [/mm] n+c$. Dies erklärt auch, wieso in der Verknüpfungstafel bei (c) nur die Werte 0 bis 3 auftauchen dürfen - schließlich sind dies die einzig Möglichen Reste bei Division durch 4.
Nun zu deinen Aufgaben.
Aufgabe 1:
Ist dir klar, wie die Mengen M+N prosaisch zu beschreiben wäre, d.h. was der Formalismus bedeutet? Ganz kurz zusammengefasst umfasst die Menge M+N genau die Zahlen, welche den Rest Modulo n haben, der der Summe aus dem Rest der Zahlen aus M (bei Division durch n) und dem Rest der Zahlen aus N (bei Division durch n) entspricht.
Um zu zeigen, dass es sich bei der gegebenen Menge um eine Restklasse handelt, musst du nachweisen, dass die drei Axiome R1-R3 von ihr erfüllt werden. Dass die Menge nichtleer ist, folgt daraus, dass die beiden Mengen M und N nichtleer sind (Warum?). Nun musst du noch zeigen die Axiome R2 und R3 erfüllt sind. Schaffst du das? Wenn nicht, frag' einfach nach.
Werden dir Aufgabe (2) und (3) nun klarer?
Sollst du eine Verknüfpungstafel für den [mm] $\IZ_4$ [/mm] erstellen, so muss diese genau 4 Reihen und 4 Spalten besitzen, jeweils eine für einen Rest. In die entstehenden Felder trägst du nun
(a) für die Addition den Rest der Summe des Spalten- und Zeilenwertes bei Division durch 4
(b) für die Multiplikation den Rest des Produktes des Spalten- und Zeilenwertes bei Division durch 4
ein. Ich hoffe, du weißt, was ich meine, ich weiß es im Moment leider nicht besser auszudrücken.
Frag' einfach nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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