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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 26.10.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Seien m,n,p [mm] \in \IZ [/mm] mit p Primzahl.
Beh.:
a) [mm] (\IZ/p\IZ\backslash\left[ 0 \right],*) [/mm] ist eine abelsche Gruppe der Ordnung p-1
b) m,n sind genau dann teilerfremd, wenn alle Gruppenhomomorphismen [mm] h:\IZ/n\IZ\rightarrow\IZ/m\IZ [/mm] trivial sind (d.h. das Bild von h ist [mm] \{\left[0\right]\}). [/mm] |
zu a) das die Ordnung p-1 ist, ist mir irgendwie klar, obwohl mich das irritiert, dass die [mm] \left[0\right] [/mm] rausgenommen wird. Sind es dann nciht nur noch p-2 Elemente?
tja, und wie zeig ich dass das ganze abelsch ist?
zu b) welche Information hab ich über die Gruppenhomomorphismen? Welche Eigenschaft muss ich benutzen?
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> Seien m,n,p [mm]\in \IZ[/mm] mit p Primzahl.
> Beh.:
> a) [mm](\IZ/p\IZ\backslash\left[ 0 \right],*)[/mm] ist eine
> abelsche Gruppe der Ordnung p-1
> b) m,n sind genau dann teilerfremd, wenn alle
> Gruppenhomomorphismen [mm]h:\IZ/n\IZ\rightarrow\IZ/m\IZ[/mm] trivial
> sind (d.h. das Bild von h ist [mm]\{\left[0\right]\}).[/mm]
> zu a) das die Ordnung p-1 ist, ist mir irgendwie klar,
Hallo,
das soll Dir aber nicht irgendwie klar sein, sondern sonnenklar.
> obwohl mich das irritiert, dass die [mm]\left[0\right][/mm]
> rausgenommen wird. Sind es dann nciht nur noch p-2
> Elemente?
Zähl die Elemente von [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] auf.
Zähl die Elemente von [mm] (\IZ [/mm] / [mm] p\IZ) [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] auf.
> tja, und wie zeig ich dass das ganze abelsch ist?
Indem Du vorrechnst, daß für a, [mm] b\in (\IZ [/mm] / [mm] p\IZ) [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] gilt [mm] a\*b=b*a.
[/mm]
(Natürlich darfst Du nicht die anderen Gruppenaxiome vergessen.)
> zu b) welche Information hab ich über die
> Gruppenhomomorphismen?
??? Ömm. Ich kann hier wirklich nur ganz blöd antworten; daß sie ein Gruppenhomomorphismen sind.
"Alle Gruppenhomomorphismen sind trivial" bedeutet dies:
sofern Du einen Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen findest, bildet er jedes Element auf das neutrale Element ab.
> Welche Eigenschaft muss ich
> benutzen?
???
Die, daß es ein Gruppenhomomorphismus ist.
Ich weiß ja auch gar nicht, welche Eigenschaften Du so kennst.
Wichtig ist sicher, daß stets das neutrale Element aufs neutrale abgebildet wird.
Erstmal mußt Du Dir klarmachen, daß Du zwei Richtungen beweisen mußt.
Das sind welche?
Für den Bewies ist es vielleicht nützlich, mal die Kontraposition der zu beweisenden Aussage anzuschauen und eventuell lieber diese zu zeigen.
Mir selbst würde es helfen, mal ein Beispiel zu machen.
Du könntest ja mal 3 und 5 nehmen und versuchen, möglichst viele Gruppenhomomorphismen zu basteln.
Dann könntest Du gucken, ob es für 3 und 6 wirklciich einen vom trivialen Homomorphismus verschiedenen gibt.
Gruß v. Angela
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