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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 06.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Zeige:
[mm] \forall [/mm] f [mm] \in \IZ/p[x] [/mm] gilt [mm] f(x)^p [/mm] = [mm] f(x^p) [/mm] |
Ich habs zuerst mal mit dem Fermatschen Satz versucht:
p Primzahl: [mm] a^p [/mm] = a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IZ/p.
[/mm]
Doch dies wollte nicht so klappen.
Wie könnte ich denn da beginnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 06.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
zeige und verwende zuerst noch $(a + [mm] b)^p [/mm] = [mm] a^p [/mm] + [mm] b^p$, [/mm] danach kommst du auch mit dem kleinen satz von fermat weiter.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 06.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
>
> zeige und verwende zuerst noch [mm](a + b)^p = a^p + b^p[/mm],
>
ja, das habe ich nun zeigen können. Aber wie ich nun mit dem Satz von Fermat weitermachen kann, ist mir noch nicht ganz klar.
Mir ist auch nicht ganz klar, was [mm] \IZ/p[x] [/mm] eigentlich genau bedeutet.
Ist p[x] einfach ein Polynom mit Primzahlen-Koeffizienten?
Was z.B. [mm] \IZ/2 [/mm] oder [mm] \IZ/5 [/mm] ist, ist mir klar. Aber was muss ich mir unter [mm] \IZ/p[x] [/mm] vorstellen...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Di 07.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > zeige und verwende zuerst noch [mm](a + b)^p = a^p + b^p[/mm],
> >
>
> ja, das habe ich nun zeigen können.
gut. die aussage gilt in jedem ring der charakteristik $p$ (also in allen ringen, in denen [mm] $\underbrace{1 + ... + 1}_{p-\textrm{mal}} [/mm] = 0$ gilt), also auch in [mm] $\mathbb{Z}/p[x]$ [/mm] (die charakteristik des grundrings vererbt sich auf den polynoring, das heißt [mm] $\textrm{char} \, [/mm] R = [mm] \textrm{char} \, [/mm] R[x]$).
> Mir ist auch nicht ganz klar, was [mm]\IZ/p[x][/mm] eigentlich genau
> bedeutet.
> Ist p[x] einfach ein Polynom mit
> Primzahlen-Koeffizienten?
nein, siehe unten.
> Was z.B. [mm]\IZ/2[/mm] oder [mm]\IZ/5[/mm] ist, ist mir klar. Aber was muss
> ich mir unter [mm]\IZ/p[x][/mm] vorstellen...?
[mm] $\mathbb{Z}/p[x] [/mm] = [mm] \left(\mathbb{Z}/p\right)[x] [/mm] = [mm] \left\{\sum_{k=0}^n a_kx^k: a_k \in \mathbb{Z}/p \right\}$ [/mm] ist einfach der ring der polynome mit koeffizienten aus [mm] $\mathbb{Z}/p$, [/mm] etwa im fall $p = 2$ hat man also für jeden koeffizienten eines polynoms genau zwei wahlen.
nun überlege dir, wie du für $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^n a_kx^k \in (\mathbb{Z}/p)[x]$ [/mm] mit hilfe obiger aussage den ausdruck [mm] $f(x)^p$ [/mm] vereinfachen kannst - schreibe im zweifel die summe für $n = 1$ und $n = 2$ mal aus. was erhälst du dann?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Do 09.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ja genau, ich habs dann mit Induktion lösen können.
Vielen Dank.
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