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| Aufgabe | Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das Restglied $ [mm] R_{2} [/mm] $ in Langrange-Form von $ f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] $,
$ f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+1} [/mm] $
bei Entwicklung um $ [mm] x_{0} [/mm] $ = 1. Bestimmen Sie weiters das asymptotische Verhalten für $x [mm] \rightarrow \pm \infty. [/mm] $ |
Das Taylorpolynom 2. Grades hab ich bereits bestimmt. Es geht also nur mehr um das Restglied [mm] R_{2}.
[/mm]
Die Formel dafür lautet doch:
[mm] |R(x,x_{0})| [/mm] $ [mm] \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!} (x-x_{0})^{3} [/mm] $
x ist doch das Maximum der 3. Ableitung von f(x) oder?
$ [mm] f^{(3)}(x) [/mm] $ = -3 (x-2) $ [mm] (x^{2} [/mm] $ - 4x + $ [mm] 5)^{-\bruch{5}{2}} [/mm] $
Um das Maximum der 3. Ableitung von f(x) zu erhalten, brauche ich die 4. Ableitung und setze diese 0.
$ [mm] f^{(4)}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}} [/mm] $
$ [mm] 12x^{2}-48x+45 [/mm] $ = 0
$ [mm] x_{1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{5}{2} [/mm] $
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3}{2} [/mm] $
Ich habe jetzt einen Wert kleiner [mm] x_{1} [/mm] und einen Wert größer [mm] x_{1} [/mm] in [mm] f^{(3)}(x) [/mm] eingesetzt um zu überprüfen, ob der Wert wirklich das Maximum darstellt.
Bei einem Wert < $ [mm] x_{1} [/mm] $ kommt ein positives Ergebnis raus.
Bei einem Wert > $ [mm] x_{1} [/mm] $ ein negatives.
Das bedeutet also, dass $ [mm] x_{1} [/mm] $ das Maximum ist, da bei allen größeren x Werten das Ergebnis kleiner wird oder?
Nun hab ich die Werte folgendermaßen eingesetzt:
Also hab jetzt das Restglied folgendermaßen berechnet:
$ [mm] |R_{2}(x, x_{0})| \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!}(x-x_{0})^{3} [/mm] $
Eingesetzt:
$ [mm] x_{0} [/mm] $ = 1
x = $ [mm] \bruch{5}{2} [/mm] $
t = 1
$ [mm] |R_{2}(\bruch{5}{2}, [/mm] 1)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(1+1(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} [/mm] = -0,4829 $
$ [mm] x_{0} [/mm] $ = 1
x = $ [mm] \bruch{5}{2} [/mm] $
t = 0
$ [mm] |R_{2}(\bruch{5}{2}, [/mm] 1)| [mm] \le \bruch{f^{(3)}(1+0(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} [/mm] = 0,298 $
Kann bitte jemand überprüfen ob ich das richtig berechnet habe? Woher weiß ich, welchen Wert t annimmt?
Vielen Dank im Voraus!
Lg
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Hallo drahmas,
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 2 und das
> Restglied [mm]R_{2}[/mm] in Langrange-Form von [mm]f: \IR \rightarrow \IR [/mm],
>
> [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2}+1}[/mm]
>
> bei Entwicklung um [mm]x_{0}[/mm] = 1. Bestimmen Sie weiters das
> asymptotische Verhalten für [mm]x \rightarrow \pm \infty.[/mm]
>
> Das Taylorpolynom 2. Grades hab ich bereits bestimmt. Es
> geht also nur mehr um das Restglied [mm]R_{2}.[/mm]
>
> Die Formel dafür lautet doch:
> [mm]|R(x,x_{0})|[/mm] [mm]\le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!} (x-x_{0})^{3}[/mm]
>
> x ist doch das Maximum der 3. Ableitung von f(x) oder?
>
> [mm]f^{(3)}(x)[/mm] = -3 (x-2) [mm](x^{2}[/mm] - 4x + [mm]5)^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
>
> Um das Maximum der 3. Ableitung von f(x) zu erhalten,
> brauche ich die 4. Ableitung und setze diese 0.
>
>
> [mm]f^{(4)}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{12x^{2}-48x+45}{(x^{2}-4x+5)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
>
> [mm]12x^{2}-48x+45[/mm] = 0
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Ich habe jetzt einen Wert kleiner [mm]x_{1}[/mm] und einen Wert
> größer [mm]x_{1}[/mm] in [mm]f^{(3)}(x)[/mm] eingesetzt um zu
> überprüfen, ob der Wert wirklich das Maximum darstellt.
>
> Bei einem Wert < [mm]x_{1}[/mm] kommt ein positives Ergebnis raus.
> Bei einem Wert > [mm]x_{1}[/mm] ein negatives.
> Das bedeutet also, dass [mm]x_{1}[/mm] das Maximum ist, da bei
> allen größeren x Werten das Ergebnis kleiner wird oder?
>
> Nun hab ich die Werte folgendermaßen eingesetzt:
>
>
> Also hab jetzt das Restglied folgendermaßen berechnet:
>
> [mm]|R_{2}(x, x_{0})| \le \bruch{f^{(3)}(x_{0}+t(x-x_{0}))}{3!}(x-x_{0})^{3}[/mm]
>
> Eingesetzt:
> [mm]x_{0}[/mm] = 1
> x = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> t = 1
> [mm]|R_{2}(\bruch{5}{2}, 1)| \le \bruch{f^{(3)}(1+1(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} = -0,4829[/mm]
>
>
> [mm]x_{0}[/mm] = 1
> x = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> t = 0
> [mm]|R_{2}(\bruch{5}{2}, 1)| \le \bruch{f^{(3)}(1+0(\bruch{5}{2}-1))}{3!}(\bruch{5}{2}-1)^{3} = 0,298[/mm]
>
> Kann bitte jemand überprüfen ob ich das richtig berechnet
> habe? Woher weiß ich, welchen Wert t annimmt?
[mm]f^{\left(3\right)}\left( \ x_{0}+t*\left(x-x_{0}\right) \ \right)[/mm] ist wie folgt abzuschätzen:
[mm]f^{\left(3\right)}\left( \ x_{0}+t*\left(x-x_{0}\right) \ \right)\le \vmat{f^{\left(3\right)}\left( \ x_{0}+t*\left(x-x_{0}\right) \ \right)} \le \operatorname{max} \left\{ \ \vmat{f^{\left(3\right)}\left(\bruch{3}{2}\right)}, \ \vmat{f^{\left(3\right)}\left(\bruch{5}{2}\right)} \ \right\}[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus!
> Lg
Gruss
MathePower
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Alles klar, vielen Dank!
Lg
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