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| Aufgabe | Sei [mm] $f\in C^4([a,b])$, [/mm] $a<b$. Sei $S(f)$ die Simpson-Regel zur Approximation von [mm] $I(f):=\int_a^b f(x)\, [/mm] dx$.
Zeigen Sie, dass folgende Restgliedabschätzung für ein [mm] $\xi\in(a,b)$ [/mm] gilt:
[mm] $I(f)-S(f)=-\frac{(b-a)^4}{2880}f^{(4)}(\xi)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Leider habe ich bisher für diese Aufgabe keinen vernünftigen Ansatz gefunden.
Oftmals haben wir solche Aussagen mithilfe des Satzes von Rolle bewiesen, welchen wir verwenden konnten um zu zeigen, dass etwa die vierte Ableitung mindestens eine Nullstelle besitzt, welche dann geeignet für die Wahl von [mm] $\xi$ [/mm] ist.
Naja, das ist hier natürlich eher sinnlos, wenn [mm] $f^{(4)}(\xi)=0$ [/mm] gilt.
Außerdem hätte ich noch eine Frage zu der Aufgabenstellung.
Warum ist [mm] $I(f):=\int_a^b f(x)\, [/mm] dx$ wohldefiniert?
Woher weißt ich, dass $f$ integrierbar ist? Dies folgt doch einfach daraus, dass $f$ eine [mm] $C^{4}$ [/mm] Funktion ist, also stetig und stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.
Insgesamt finde ich diese Gleichheit relativ "verblüffend", denn $I(f)$ unterscheidet sich dann von der Simpson-Regel ja auf dem Intervall $[a,b]$ lediglich um eine Konstante.
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hiho,
> Außerdem hätte ich noch eine Frage zu der
> Aufgabenstellung.
> Warum ist [mm]I(f):=\int_a^b f(x)\, dx[/mm] wohldefiniert?
> Woher weißt ich, dass [mm]f[/mm] integrierbar ist? Dies folgt doch
> einfach daraus, dass [mm]f[/mm] eine [mm]C^{4}[/mm] Funktion ist, also stetig und stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.
Korrekt. Daher gibt es an der Stelle kein Problem.
> Insgesamt finde ich diese Gleichheit relativ
> "verblüffend", denn [mm]I(f)[/mm] unterscheidet sich dann von der
> Simpson-Regel ja auf dem Intervall [mm][a,b][/mm] lediglich um eine
> Konstante.
Na und was steht rechts? Eine Konstante.....
Zu deiner Frage: Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Kapitel 3
Gruß,
Gono
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> Na und was steht rechts? Eine Konstante.....
Ja, natürlich.
Vielleicht ist meine "Verblüffung" schlecht ausgedrückt...
Vielen Dank für das verlinkte Skript. Ich werde es mir näher ansehen.
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