Residuum Berechnung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 29.12.2008 | | Autor: | bene1 |
Hallo
Ich würde gerne das Residuum des folgenden Polynoms berechnen, komme aber irgendwie nicht wirklich weiter:
f(z) = [mm] {(z^2 + z + 1) / (z+1)^3} [/mm]
Ich weiß dass ich zunächst erstmal eine Laurententwicklung machen sollte. Um -1, da dass ja die Polstelle ist. Am Folgenglied "-1" kann ich dann das Residdum ablesen. Dazu habe ich zuerst eine Partialbruchzerlegung durchgeführt:
f(z) = [mm] {1 / (z+1)^3} [/mm] + [mm] {1 / (1+z^2) + 1 / (1+z)} [/mm]
Nur weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen könnte. Gibt es in diesem Fall vielleicht noch eine schnellere Methode, das Residuum zu bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bene1,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo
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> Ich würde gerne das Residuum des folgenden Polynoms
> berechnen, komme aber irgendwie nicht wirklich weiter:
>
> f(z) = [mm]{(z^2 + z + 1) / (z+1)^3}[/mm]
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> Ich weiß dass ich zunächst erstmal eine Laurententwicklung
> machen sollte. Um -1, da dass ja die Polstelle ist. Am
> Folgenglied "-1" kann ich dann das Residdum ablesen. Dazu
> habe ich zuerst eine Partialbruchzerlegung durchgeführt:
>
> f(z) = [mm]{1 / (z+1)^3}[/mm] + [mm]{1 / (1+z^2) + 1 / (1+z)}[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+1\right)^{3}}\red{-}\bruch{1}{\left(z+1\right)^ {2}}+\bruch{1}{z+1}[/mm]
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> Nur weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen könnte. Gibt
> es in diesem Fall vielleicht noch eine schnellere Methode,
> das Residuum zu bestimmen?
>
>
Nun, das Residuum von f ist die Zahl [mm]a_{-1}[/mm] in der Laurentreihe.
Alternativ kannst Du das Residuum nach dieser Formel berechnen:
[mm]\operatorname{res}_{c}\left(f\right)=\bruch{1}{\left(m-1\right)!}g^{\left(m-1\right}\left(c\right)[/mm]
,wobei f in c einen Pol m-ter Ordnung hat und g die holomorphe
Fortsetzung von [mm]\left(z-c\right)^{m}f\left(z\right)[/mm] nach c ist.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 30.12.2008 | | Autor: | bene1 |
Danke! Mit der Formel bekomme ich das Residuum für diese Funktion jetzt raus.
Wenn ich nun aber die Funktion
f(z) = [mm] {(z^2 + z + 1) / (z^3+1)}[/mm]
habe, und diese Formel anwenden möchte, gehe ich ja so vor:
Polstelle 1. Ordnung, da Nenner die Potenz 1 hat (oder bestimme ich die Ordnung des Pols anders?) und dann kann ich Res(f,-1) nicht bestimmen, da der Nenner somit =0 wird.
Ist da ein Denkfehler in der Rechnung oder muss ich hier anders vorgehen?
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Hallo bene1,
> Danke! Mit der Formel bekomme ich das Residuum für diese
> Funktion jetzt raus.
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> Wenn ich nun aber die Funktion
>
> f(z) = [mm]{(z^2 + z + 1) / (z^3+1)}[/mm]
>
> habe, und diese Formel anwenden möchte, gehe ich ja so
> vor:
>
> Polstelle 1. Ordnung, da Nenner die Potenz 1 hat (oder
> bestimme ich die Ordnung des Pols anders?) und dann kann
> ich Res(f,-1) nicht bestimmen, da der Nenner somit =0 wird.
>
> Ist da ein Denkfehler in der Rechnung oder muss ich hier
> anders vorgehen?
Hier benötigst Du die holomorphe Fortsetzung [mm]g\left(z\right)=(z+1)*f\left(z\right)[/mm]
Damit Du das berechnen kannst, zerlege [mm]z^{3}+1=\left(z+1\right)*f_{2}\left(z\right)[/mm],
wobei [mm]f_{2}\left(z\right)[/mm] ein Polynom 2. Grades in z ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 30.12.2008 | | Autor: | bene1 |
Danke schön für die schnelle Antwort :)
Eine letzte Frage dazu hätte ich noch: Die Ordnung einer Polstelle: Die ergibt sich doch aus der Potenz um den Term, der für die Nullstelle im nenner verantwortlich ist - ganz analog zu den gebrochen rationelane Funktionen die man in der Schule hatte, oder?
Also bei dem Beispiel oben wegen (x+1)(...) im Nenner ist bei -1 eine Polstelle 1. Ordnung und die weiteren Polstellen, welche in diesem Fall komplex sind, ergeben sich aus dem weiteren Term?
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Hallo bene1,
> Danke schön für die schnelle Antwort :)
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> Eine letzte Frage dazu hätte ich noch: Die Ordnung einer
> Polstelle: Die ergibt sich doch aus der Potenz um den Term,
> der für die Nullstelle im nenner verantwortlich ist - ganz
> analog zu den gebrochen rationelane Funktionen die man in
> der Schule hatte, oder?
>
Ja.
>
> Also bei dem Beispiel oben wegen (x+1)(...) im Nenner ist
> bei -1 eine Polstelle 1. Ordnung und die weiteren
> Polstellen, welche in diesem Fall komplex sind, ergeben
> sich aus dem weiteren Term?
So isses.
Gruß
MathePower
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