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Residuum: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Di 05.10.2010
Autor: MissMath

Aufgabe
Bestimmen Sie [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm]

Schönen Abend,

die angegebene Funktion hat doch bei z=1 und z=-1 isolierte Singularitäten und zwar Pole oder?
Müsste ich nicht an beiden Punkten das Residuum berechnen und mit denen dann weiter die Aufgabe lösen?
Meine Professorin hat nur das Residuum an der Stelle z=-1 berechnet und mit diesem Ergebnis die ganze Aufgabe gelöst! Wieso reicht das schon aus? Oder haben wir bei z=1 gar keine isolierte Singularität?

Schöne Grüße


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Di 05.10.2010
Autor: MorgiJL

Hey...

> Bestimmen Sie [mm]\integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)}[/mm]
>  
> Schönen Abend,
>  
> die angegebene Funktion hat doch bei z=1 und z=-1 isolierte
> Singularitäten und zwar Pole oder?
> Müsste ich nicht an beiden Punkten das Residuum berechnen
> und mit denen dann weiter die Aufgabe lösen?
> Meine Professorin hat nur das Residuum an der Stelle z=-1
> berechnet und mit diesem Ergebnis die ganze Aufgabe
> gelöst! Wieso reicht das schon aus? Oder haben wir bei z=1
> gar keine isolierte Singularität?

liegt denn z=1 mit in der Menge, über welche integriert wird?...(mal das z als x+iy schreiebn und dann im KS kucken wie die Menge aussieht).


>  
> Schöne Grüße
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt

JAn

Bezug
                
Bezug
Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 05.10.2010
Autor: MissMath

Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1 haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises, stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?


Bezug
                        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Di 05.10.2010
Autor: MathePower

Hallo MissMath,


[willkommenmr]


> Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1
> haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises,
> stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?
>  


So ist es.


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Mi 06.10.2010
Autor: fred97


> Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1
> haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises,
> stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?


Wenn Du mit dem Residuensatz dran gehst bekommst Du zunächst:


$ [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i(res(f,1)*n(c,1)+res(f,-1)*n(c,-1))$

wobei [mm] $c(t)=-1+e^{it}$ [/mm]  (t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi]) [/mm] und n(c,z) die Umlaufzahl von c bezügl. z bedeutet.

Oben ist n(c,-1)=1 und n(c,1)=0





Hier:

https://matheraum.de/read?i=718715

hab ich einen weiteren Lösungsweg.

FRED

>  


Bezug
        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Mi 06.10.2010
Autor: fred97

Ergänzend: Du kannst es auch so machen:

Sei K die offene Kreisscheibe um -1 mit Radius 3/2 und f(z):= [mm] \bruch{1}{(z-1)^3} [/mm]

Dann ist f auf K holomorph

Mit der Cauchyschen Integralformel erhälst Du:

     $ [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm] = [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z+1} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i*f(-1)= - [mm] \bruch{ \pi i}{4}$ [/mm]


FRED



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