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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Mo 09.05.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo Leute!
Weiß einer von euch was ein Residium ist, wenn ich eine matrix A und ein vektor b gegeben hab?Und wie mach ich Nachiteration?
weiß jemand vielleicht eine gute Internetadresse zu dem Thema?
Mein Buch gibt diesbezüglich nämlich nichts her!
wäre euch sehr zum dank verbunden!
Gruß
Der Lumpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Lumpi!
Um eine Näherungslösung [mm] $\tilde{x} \in \IR^n$ [/mm] eines linearen $(n [mm] \times [/mm] n)$-Gleichungssystems $Ax=b$ zu verbesseren, verwendet man als Nachiteration oft die Residualiteration
[mm] $x^{(1)}:= \tilde{x}$,
[/mm]
[mm] $x^{(i+1)}:= x^{(i)} [/mm] + [mm] S(b-Ax^{(i)})$
[/mm]
mit einer "Näherungsinversen" $S$ zu $A$. Hierbei bezeichnet man die [mm] $b-Ax^{(i)}$ [/mm] als Residuen.
Diese Iteration konvergiert, sofern
[mm] $\Vert [/mm] E-SA [mm] \Vert \le [/mm] k <1$
gilt.
(Quelle: Schaback/Werner, Numerische Mathematik)
Liebe Grüße
Julius
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Hallo lumpi,
Du hast das Gleichungssystem:
Ax=b
Nun hast Du einen Lösungsalgorithmus angewendet und für x eine Näherung [mm] x_0 [/mm] rausbekommen mit [mm]Ax_0 \not= b[/mm].
Nun willst du näher an die "richtige Lösung" x heran. Dazu bestimmt man folgendermaßen die Differenz [mm] \Delta x_0=x-x_0.
[/mm]
[mm]A(x-x_0)=Ax-Ax_0=b-Ax_0=r_0 [/mm]
Um die Differenz herauszubekommen mußt Du also wieder ein Gleichungssystem lösen dazu benutzt man i.d.R. den Algorithmus den Du zum Lösen des ursprünglichen Systems verwendet hast. Da kann man Aufwand sparen.
[mm]A \Delta x_0=r_0[/mm]
Natürlich ist diese Differenz auch nicht exakt. Aber i.d.R. ist [mm] x_1=x_0+\Delta x_0 [/mm] eine bessere Näherung. Falls es noch nicht reicht kann man analog [mm] x_2 [/mm] bestimmen usw. Konvergenz siehe Julius' Beitrag.
viele Grüße
mathemaduenn
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