Residuensatz anwenden < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 13.02.2010 | | Autor: | suho |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{cos(x)}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen internetseiten gestellt.
Wenn ich nun das Kurvenintegral über der reelen Achse und dem oberen Halbkreis der komplexen Eebene bestimmen möchte, dann ist dieses ja die Summe der beiden Residuin an den Polstellen im oberen Halbkreis (i, 2i).
Ich habe die Residuin auf folgende Weise berechnet:
[mm] Res(f,z)=\bruch{h(z)}{g'(z)}
[/mm]
Das geht, weil es sich ja um Polstellen erster Ordnung handelt.
[mm] Res(f,a)=\bruch{cos(a)}{4a^{3}+10a}
[/mm]
Wenn ich die beiden Residuin auf diese Weise bestimme, komme ich leider auf die falsche Lösung. Ich habe eine Lösung der Aufgabe zur Hand und in der wurde der cos ausgetauscht durch [mm] e^{ia}:
[/mm]
[mm] Res(f,a)=\bruch{e^{ia}}{4a^{3}+10a}
[/mm]
Und genau dieses verstehe ich nicht ganz. Ich sehe ja ein, dass der Realteil dadurch dem des reelen Integrals entspricht, dennoch habe ich so meine Schwierigkeiten zu verstehen warum ich das machen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 13.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe die Residuin auf folgende Weise berechnet:
> [mm]Res(f,z)=\bruch{h(z)}{g'(z)}[/mm]
> Das geht, weil es sich ja um Polstellen erster Ordnung
> handelt.
> [mm]Res(f,a)=\bruch{cos(a)}{4a^{3}+10a}[/mm]
> Wenn ich die beiden Residuin auf diese Weise bestimme,
> komme ich leider auf die falsche Lösung.
Was ist deine Lösung, was ist die richtige Lösong? Das solltest du bitte auch angeben.
> Ich habe eine
> Lösung der Aufgabe zur Hand und in der wurde der cos
> ausgetauscht durch [mm]e^{ia}:[/mm]
> [mm]Res(f,a)=\bruch{e^{ia}}{4a^{3}+10a}[/mm]
> Und genau dieses verstehe ich nicht ganz. Ich sehe ja
> ein, dass der Realteil dadurch dem des reelen Integrals
> entspricht, dennoch habe ich so meine Schwierigkeiten zu
> verstehen warum ich das machen muss.
Nun, du reduzierst das Integral auf ein Kurvenintegral. Jetzt musst du aber sicherstellen, dass der Hlabkreis in der oberen Halbebene gegen Null geht. Iiirc macht der cos da ein Problem, da mit ihm eben dieser Integralanteil nicht verschwindet. Mit [m]e^{ia}[/m] aber schon.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 14.02.2010 | | Autor: | suho |
Ok hier ist die Lösung zu der Aufgabe:
![[]](/images/popup.gif) http://rapidshare.com/files/350431430/loesung.pdf
Ich habe keine Schwierigkeiten die Lösung zu verstehen. Es ist klar, dass der Realteil des Integrals in diesem Fall dem entspricht was ich eigentlich haben möchte. Aber ich sehe auch nicht warum meine Abschätzung nicht verschwindet:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{iRe^{it}*cos(Re^{it}) }{(R^{2}e^{2it}+1)*(R^{2}e^{2it}+4)} dt} \le \integral_{0}^{\pi}{|f(t)| dt} \le \integral_{0}^{\pi}{\bruch{iR}{(R^{2}+1)*(R^{2}+4)} dt}=0
[/mm]
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\pi}{\bruch{iR}{(R^{2}+1)*(R^{2}+4)} dt}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber ich
> sehe auch nicht warum meine Abschätzung nicht
> verschwindet:
Du schätzt [m]|cos(z)|\le 1[/m] ab. Es gilt aber für [m]t=\pi/2[/m] zB [m]\cos(R*i)=\cosh(R)\to\infty\mbox{ für }R\to\infty[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 14.02.2010 | | Autor: | suho |
Oh ja stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht, Danke.
Also sollte ich bei Integralen in denen sin() oder cos() vorkommen, diese immer durch [mm] e^{iz} [/mm] ersetzen und dann entweder Real- oder Imaginärteil als Lösung des reellen Integrals heranziehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 So 14.02.2010 | | Autor: | suho |
Ich meine zumindest bei Integralen der Form:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also sollte ich bei Integralen in denen sin() oder cos()
> vorkommen, diese immer durch [mm]e^{iz}[/mm] ersetzen und dann
> entweder Real- oder Imaginärteil als Lösung des reellen
> Integrals heranziehen?
Never say never. Aber gängiger Trick. Ich habe ja gesagt, worauf es ankommt.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 14.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo suho,
den Residuensatz wendest Du auf eine geschlossene Kurve an, die in der komplexen Ebene liegt. Auf der reellen Achse entspricht Dein Integrand gerade dem komplexen Auasdruck, in der komplexen Ebene jedoch natürlich nicht mahr. Das ist aber auch nicht weiter schlimm, da, wie schon SEcki schrieb, dieser Anteil des Integrationsweg mit wachsendem Halbkreisradius gegen Null strebt.
Viele Grüße,
Infinit
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