Residuensatz(Integral rechnen) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:49 So 21.08.2005 | | Autor: | RAT |
Die Fage lautet:
Beweisen sie für $-1<a<1$, dass
[mm] \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*x)}{cosh(x)} [/mm] dx}= [mm] \bruch{\pi}{cos((\pi*a)/2)}
[/mm]
Hinweis: Betrachte [mm] \integral_{ \gamma}... [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der positiv orientiere Rand des Rechtecks mit den Ecken [mm] -R,R,R+\pi*i,-R+\pi*i [/mm] ist.
Mein Ansatz ist das Kurvenintegral in die 4 bestandteile Aufzuteilen und über alle einzeln zu integrieren...nur scheine ich da nen Fehler zu machen. Im folgenden ist [mm] \gamma_1 [/mm] der Weg von -R bis R und dann gehts herum gegen den Uhrzeigersinn. Also:
Zuerst [mm] \gamma_2:
[/mm]
Parametrisiere: [mm] \gamma_2: t\to [/mm] t+R ; [mm] t\in [/mm] [0, [mm] \pi*i]
[/mm]
dann folgt:
[mm] \integral_{\gamma_2} [/mm] {f(t) dt}= [mm] \integral_{0}^{\pi*i} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a(t+R))}{1/2(exp(t+R)+exp(-t-R))}dt} [/mm] da -1<a<1 geht das für [mm] R\to\infty [/mm] gegen 0.
Analog geht dann das [mm] \gamma_4 [/mm] Integral gegen 0.
Weiter mit [mm] \gamma_2 [/mm] , das hab ich so parametrisiert:
[mm] -\gamma_3: t\to \pi*i+t; t\in [/mm] [-R,R]
- [mm] \integral_{\gamma_3} [/mm] {f(t) dt}=- [mm] \integral_{-R}^{R} {\bruch{exp(a(\pi*i +t))}{1/2(exp(\pi*i+t)+exp(-\pi*i-t))} dt}
[/mm]
da [mm] exp(\pi*i)=exp(-\pi*i)=-1 [/mm] zieh ich das im Nenner raus und kürze es mit dem Minus vorm Integral weg, oben kann ich das [mm] exp(a\pi*i) [/mm] rausziehen und vor das Integral stellen:
[mm] =exp(a\pi*i)\integral_{- R}^{ R} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*t)}{cosh(t)} [/mm] dt}
Ich bekomme also das Integral, das ich berechnen will mit nem Multiplikator davor. Insgesammt sieht es dann so aus(mit Residuensatz und Grenzwertbildung):
[mm] (1+exp(a\pi*i))\integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{exp(a*t)}{cosh(t)} dt}=2*\pi*i \summe [/mm] Res(f)=(die einzige Nullstelle von cosh im Gebiet ist bei [mm] \pi*i/2, [/mm] das Residuum da ist [mm] exp(a*\pi*i/2)/i)=2*\pi*
[/mm]
[mm] exp(a*\pi*i/2).
[/mm]
Wenn ich das jetzt umstelle und vereinfache bekomme ich was komplexes raus, was ja nicht sein kann. Ich hoffe mir kann jemand helfen :)
Gruß
RAT
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 21.08.2005 | | Autor: | RAT |
D'oh...dabei hatte ich da ein paar Werte eingesetzt und das hat nicht geklappt...Vielen Dank, dass du's dir angetan hast den Fehler zu suchen :)
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