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| Aufgabe | Integranden, die rationale Ausdrücke in sin [mm] \theta [/mm] und cos [mm] \theta [/mm] sind über eine volle Periode von [mm] 2\pi [/mm] integriert werden, lassen sich durch die Substitution z= [mm] e^{i\theta} [/mm] auf den Einheitskreis der komplexen Ebene abbilden.
Bestimme
a) [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta}{5-4cos\theta}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta cos \theta}{5-4cos\theta}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta cos^2 \theta}{5-4cos\theta} [/mm] |
Als Nullstellen bekomme ich:
(bzw. Nullstellen online ausrechnen lassen)
x= [mm] 2\pi [/mm] n [mm] -cos^{-1}\bruch{5}{4} [/mm] ,n [mm] \in \IZ
[/mm]
x= [mm] 2\pi [/mm] n [mm] +cos^{-1}\bruch{5}{4} [/mm] ,n [mm] \in \IZ
[/mm]
Wie verhalten sich die Werte auf dem Einheitskreis?
Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Integranden, die rationale Ausdrücke in sin [mm]\theta[/mm] und cos
> [mm]\theta[/mm] sind über eine volle Periode von [mm]2\pi[/mm] integriert
> werden, lassen sich durch die Substitution z= [mm]e^{i\theta}[/mm]
> auf den Einheitskreis der komplexen Ebene abbilden.
> Bestimme
> a) [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta}{5-4cos\theta}[/mm]
> b) [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta cos \theta}{5-4cos\theta}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{d\theta cos^2 \theta}{5-4cos\theta}[/mm]
>
> Als Nullstellen bekomme ich:
> (bzw. Nullstellen online ausrechnen lassen)
>
> x= [mm]2\pi[/mm] n [mm]-cos^{-1}\bruch{5}{4}[/mm] ,n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> x= [mm]2\pi[/mm] n [mm]+cos^{-1}\bruch{5}{4}[/mm] ,n [mm]\in \IZ[/mm]
???? Es gibt kein [mm] \theta [/mm] mit cos( [mm] \theta)=5/4 [/mm] !! Denn |cos( [mm] \theta)| \le [/mm] 1.
FRED
>
> Wie verhalten sich die Werte auf dem Einheitskreis?
> Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
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.....da hat mir das Programm wohl etwas falsches ausgespuckt.
Trozdem weiß ich nicht wie ich hier vorgehe.
Eigentlich berechnet man ja die Nenner Nullstellen, dann die Residuen und setz diese Werte in f(x) ein......
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Es gilt [mm]\cos \vartheta = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} \vartheta} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i} \vartheta} \right)[/mm]. Und wenn man [mm]z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \vartheta}[/mm] setzt, kann man das so schreiben:
[mm]\cos \vartheta = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right)[/mm]
Daher integriert man bei a) die Funktion
[mm]f(z) = \frac{1}{\operatorname{i} z} \cdot \frac{1}{5 - 4 \cdot \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right)} = \frac{1}{\operatorname{i}} \cdot \frac{1}{-2z^2 + 5z-2}[/mm]
über den Einheitskreis [mm]\gamma: z = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \vartheta}, \ - \pi \leq \vartheta \leq \pi[/mm] und wendet den Residuensatz an. Warum man den Faktor [mm]\frac{1}{\operatorname{i} z}[/mm] noch anbringt, erklärt sich von alleine, wenn du die Parametrisierung durchführst.
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...irgendwie komme ich mit den ganzen Verfahren der Funktionsanalyse total durcheinander.
Wie gehe ich hier weiter vor? Suche ich die Pole von [mm] -2z^2+5z-2 [/mm] und bilde dann das Residuum?
Wäre in dem Fall z= 0,5 und z=2
Res f (0,5) = [mm] \bruch{1}{-2z^2+5z-2}|_{0,5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-4*0,5+5} =\bruch{1}{3}
[/mm]
Res f (2) = [mm] \bruch{1}{-2z^2+5z-2}|_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-4*2+5} =\bruch{1}{-3}
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{1}{5-4cps\omega}d\omega [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{-3}) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i * [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
ist das so richtig?
Wenn ja, muss ich für ii) und iii) genauso vorgehen, nur das etwas anderes auf dem Zähler steht?
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Hallo diemelli1,
> ...irgendwie komme ich mit den ganzen Verfahren der
> Funktionsanalyse total durcheinander.
>
> Wie gehe ich hier weiter vor? Suche ich die Pole von
> [mm]-2z^2+5z-2[/mm] und bilde dann das Residuum?
>
> Wäre in dem Fall z= 0,5 und z=2
>
> Res f (0,5) = [mm]\bruch{1}{-2z^2+5z-2}|_{0,5}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-4*0,5+5} =\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Res f (2) = [mm]\bruch{1}{-2z^2+5z-2}|_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-4*2+5} =\bruch{1}{-3}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{1}{5-4cps\omega}d\omega[/mm] = [mm]2\pi[/mm]
> i [mm](\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{-3})[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i * [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> ist das so richtig?
Es ist doch nur das Residuum an der Stelle zu berücksichtigen.
für die [mm]\vmat{z} < 1[/mm] ist.
> Wenn ja, muss ich für ii) und iii) genauso vorgehen, nur
> das etwas anderes auf dem Zähler steht?
Die Vorgehensweise ist genau die selbe.
Gruss
MathePower
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Vielen dank für die große Hilfe!!
@ mathePower: stimmt, ich muss ja um den Einheitskreis abbilden. ;)
Also hab ich a) nur Res (0,5) und folglich:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{1}{5-4cos \omega}d\omega [/mm] = [mm] 2\pi i*\bruch{1}{3}= \bruch{2\pi i}{3}
[/mm]
b) dort gehe ich analog vor. Die Polstelle ist wie bei a), also bei 0,5.
f(z)= [mm] \bruch{1}{iz}* \bruch{\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z}}{5-4(\bruch{1}{z})(z+\bruch{1}{z})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i}* \bruch{\bruch{1}{2}z+ \bruch{1}{2z}}{-2z^2+5z-2}
[/mm]
Res F(0,5) = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*0,5+\bruch{1}{2*0,5}}{-4*0,5+5}= \bruch{\bruch{5}{4}}{3}= \bruch{5}{12}
[/mm]
daraus folgt: [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] ..... = [mm] 2\pi [/mm] i * [mm] \bruch{5}{12} [/mm] = = [mm] \bruch{5}{6}\pi [/mm] i
c) f(z)= [mm] \bruch{1}{iz}* \bruch{\bruch{1}{4}(z^2+\bruch{1}{z^2}}{5-4(\bruch{1}{z})(z+\bruch{1}{z})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i}* \bruch{\bruch{1}{4}z^2+ \bruch{1}{4z^2}}{-2z^2+5z-2}
[/mm]
stimmt das soweit?
ist mein Ansatz in c) auch richtig?
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Hallo diemelli1,
> Vielen dank für die große Hilfe!!
> @ mathePower: stimmt, ich muss ja um den Einheitskreis
> abbilden. ;)
>
> Also hab ich a) nur Res (0,5) und folglich:
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{1}{5-4cos \omega}d\omega[/mm] =
> [mm]2\pi i*\bruch{1}{3}= \bruch{2\pi i}{3}[/mm]
>
Hier hast Du vergessen durch "i" noch zu teilen.
> b) dort gehe ich analog vor. Die Polstelle ist wie bei a),
> also bei 0,5.
>
> f(z)= [mm]\bruch{1}{iz}* \bruch{\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z}}{5-4(\bruch{1}{z})(z+\bruch{1}{z})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i}* \bruch{\bruch{1}{2}z+ \bruch{1}{2z}}{-2z^2+5z-2}[/mm]
>
> Res F(0,5) =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}*0,5+\bruch{1}{2*0,5}}{-4*0,5+5}= \bruch{\bruch{5}{4}}{3}= \bruch{5}{12}[/mm]
>
> daraus folgt: [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}[/mm] ..... = [mm]2\pi[/mm] i *
> [mm]\bruch{5}{12}[/mm] = = [mm]\bruch{5}{6}\pi[/mm] i
In z=0 ist ebenfalls ein Pol. Dieser liegt ebenfalls im Einheitskreis.
> c) f(z)= [mm]\bruch{1}{iz}* \bruch{\bruch{1}{4}(z^2+\bruch{1}{z^2}}{5-4(\bruch{1}{z})(z+\bruch{1}{z})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{i}* \bruch{\bruch{1}{4}z^2+ \bruch{1}{4z^2}}{-2z^2+5z-2}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
> ist mein Ansatz in c) auch richtig?
>
Der Ansatz ist richtig, aber f(z) stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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a) [mm] =\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
b) warum habe ich bei z=0 einen Pol?
Die Polstelle richtet sich doch immer nur nachdem Nenner (also die Nullstellen des Nenners)
c) ...ich weiß nicht wo der Fehler ist?
Ich muss doch den Zähler quadrieren, weil ich [mm] cos^2\theta [/mm] hab.
[mm] cos\theta= \bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z})
[/mm]
[mm] cos^2 \theta [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^2(z+\bruch{1}{z})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}+ z^2+2z+ \bruch{1}{z^2} [/mm] ?
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Hallo diemelli1,
> a) [mm]=\bruch{2}{3}\pi[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) warum habe ich bei z=0 einen Pol?
> Die Polstelle richtet sich doch immer nur nachdem Nenner
> (also die Nullstellen des Nenners)
>
Die zu betrachtende Funktion lautet doch:
[mm]\[\frac{{z}^{2}+1}{4\,i\,{z}^{3}-10\,i\,{z}^{2}+4\,i\,z}\][/mm]
Und diese hat bei z=0 einen Pol.
> c) ...ich weiß nicht wo der Fehler ist?
> Ich muss doch den Zähler quadrieren, weil ich [mm]cos^2\theta[/mm]
> hab.
>
> [mm]cos\theta= \bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z})[/mm]
> [mm]cos^2 \theta[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{2})^2(z+\bruch{1}{z})^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}+ z^2+2z+ \bruch{1}{z^2}[/mm]
> ?
Das muss doch so lauten:
[mm](\bruch{1}{2})^2(z+\bruch{1}{z})^2 = \bruch{1}{4} \left\blue{(}z^2+\red{2}+ \bruch{1}{z^2}\right\blue{)}[/mm]
Gruss
MathePower
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oh man.... so schnell passieren kleine Fehler.
zu b)
wenn ich den ganzen Bruch mit 2z erweitere bekomme ich
[mm] \bruch{z^2+1}{4z^3-10z^2+4z} [/mm] folglich kommen folgende Residuen heraus.
Res f(0) = [mm] \bruch{0^2+1}{12*0^2-20*0+4}= \bruch{1}{4}
[/mm]
Res f(0,5) = [mm] \bruch{0,5^2+1}{12*0,5^2-20*0,5+4}= \bruch{\bruch{1}{4}}{-3}= \bruch{-1}{12}
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}.....= 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] - [mm] (\bruch{-1}{12})) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\pi [/mm]
Stimmt es das Ergebnis von a) und b) identisch sind?
zu c)
f(z)= [mm] \bruch{\bruch{1}{4}*(z^2+2+\bruch{1}{z^2})}{-2z^2+5z-2}=
[/mm]
mit [mm] z^2 [/mm] erweitert und mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] mal genommen
[mm] =\bruch{z^4+2z^2+1}{-8z^4+20z^3-8z^2}
[/mm]
Polstellen bei 0 und 0,5
Res (0) = [mm] \bruch{0^4+2*0^2+1}{-32*0^3+60*0^2-16*0}= [/mm] 0
Res (0,5) = [mm] \bruch{0,5^4+2*0,5^2+1}{-32*0,5^3+60*0,5^2-16*0,5}= \bruch{1,5625}{3}= \bruch{\bruch{25}{16}}{3}=\bruch{25}{48}
[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}.....= 2\pi [/mm] i [mm] (\bruch{25}{48}) =\bruch{25}{24}\pi
[/mm]
..... hab ich hier auch wieder einen Fehler reingebaut?
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Hallo diemelli1,
> oh man.... so schnell passieren kleine Fehler.
>
> zu b)
>
> wenn ich den ganzen Bruch mit 2z erweitere bekomme ich
> [mm]\bruch{z^2+1}{4z^3-10z^2+4z}[/mm] folglich kommen folgende
> Residuen heraus.
> Res f(0) = [mm]\bruch{0^2+1}{12*0^2-20*0+4}= \bruch{1}{4}[/mm]
> Res
> f(0,5) = [mm]\bruch{0,5^2+1}{12*0,5^2-20*0,5+4}= \bruch{\bruch{1}{4}}{-3}= \bruch{-1}{12}[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}.....= 2\pi[/mm] i [mm](\bruch{1}{4}[/mm] -
> [mm](\bruch{-1}{12}))[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}\pi[/mm]
>
> Stimmt es das Ergebnis von a) und b) identisch sind?
Nein, das stimmt nicht.
Die Residuuen sind zu addieren, nicht zu subtrahieren.
>
> zu c)
> f(z)=
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}*(z^2+2+\bruch{1}{z^2})}{-2z^2+5z-2}=[/mm]
> mit [mm]z^2[/mm] erweitert und mit [mm]\bruch{1}{4}[/mm] mal genommen
> [mm]=\bruch{z^4+2z^2+1}{-8z^4+20z^3-8z^2}[/mm]
>
> Polstellen bei 0 und 0,5
>
> Res (0) = [mm]\bruch{0^4+2*0^2+1}{-32*0^3+60*0^2-16*0}=[/mm] 0
z=0 ist ein Pol zweiter Ordnung.
Damit ist für das Residuum eine geänderte Formel zu benutzen.
> Res (0,5) =
> [mm]\bruch{0,5^4+2*0,5^2+1}{-32*0,5^3+60*0,5^2-16*0,5}= \bruch{1,5625}{3}= \bruch{\bruch{25}{16}}{3}=\bruch{25}{48}[/mm]
>
Stimmt.
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}.....= 2\pi[/mm] i [mm](\bruch{25}{48}) =\bruch{25}{24}\pi[/mm]
>
> ..... hab ich hier auch wieder einen Fehler reingebaut?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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zu c)
da 0 Pol 2.ter Ordnung ist habe ich folgendes Ausgerechnet.
Ich habe folgende Formel dazu gefunden: [mm] 2\bruch{g'(a)}{h''(a)} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} \bruch{g(a)h'''(a)}{(h''(a))^2}
[/mm]
g= [mm] z^4+2z^2+1
[/mm]
[mm] g'=4z^3+4z
[/mm]
[mm] h=-8z^4+20z^3-8z^2
[/mm]
[mm] h'=-32z^3+60z^2-16z
[/mm]
[mm] h''=-96z^2+120z-16
[/mm]
h'''=-192z+120
daraus folgt:
[mm] 2*\bruch{(4z^3+4z)}{-96z^2^+120z-16} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} \bruch{(z^4+2z^2+1)(-192z+120)}{(-96z^2+120z-16)^2}
[/mm]
z=0 eingesetzt:
[mm] 2*\bruch{0}{-16} -\bruch{2}{3}*\bruch{120}{256} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}* \bruch{120}{256}= [/mm] -0,3125 = [mm] -\bruch{5}{16}
[/mm]
Stimmt das?
res bei 0,5= [mm] \bruch{25}{48}
[/mm]
Folglich:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}.... =2\pi i(\bruch{-5}{16} [/mm] + [mm] \bruch{25}{48})= \bruch{20\pi i}{48}= \bruch{5\pi}{12}
[/mm]
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Hallo diemelli1,
> zu c)
> da 0 Pol 2.ter Ordnung ist habe ich folgendes
> Ausgerechnet.
>
> Ich habe folgende Formel dazu gefunden:
> [mm]2\bruch{g'(a)}{h''(a)}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3} \bruch{g(a)h'''(a)}{(h''(a))^2}[/mm]
>
> g= [mm]z^4+2z^2+1[/mm]
> [mm]g'=4z^3+4z[/mm]
> [mm]h=-8z^4+20z^3-8z^2[/mm]
> [mm]h'=-32z^3+60z^2-16z[/mm]
> [mm]h''=-96z^2+120z-16[/mm]
> h'''=-192z+120
>
> daraus folgt:
> [mm]2*\bruch{(4z^3+4z)}{-96z^2^+120z-16}[/mm] - [mm]\bruch{2}{3} \bruch{(z^4+2z^2+1)(-192z+120)}{(-96z^2+120z-16)^2}[/mm]
>
>
> z=0 eingesetzt:
> [mm]2*\bruch{0}{-16} -\bruch{2}{3}*\bruch{120}{256}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}* \bruch{120}{256}=[/mm] -0,3125 = [mm]-\bruch{5}{16}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
Ja.
> res bei 0,5= [mm]\bruch{25}{48}[/mm]
> Folglich:
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}.... =2\pi i(\bruch{-5}{16}[/mm] +
> [mm]\bruch{25}{48})= \bruch{20\pi i}{48}= \bruch{5\pi}{12}[/mm]
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Fr 15.06.2012 | | Autor: | diemelli1 |
Vielen dank für die tolle Hilfe!!!
...... ihr seit echt nett.
Grüße
Melli
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