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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:11 Di 07.10.2008 | | Autor: | Aurelie |
| Aufgabe | Uneigentliches Integral der Gestalt
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x)dx$
Sei [mm] \alpha_r [/mm] der Halbkreisbogen von -r bis r mit r [mm] \in \IR [/mm]
Gilt [mm] $\limes_{r\rightarrow\infty} \int\limits_{\alpha_r} [/mm] f(z)dz=0 $
und existiert [mm] $\int\limits_{-\infty}^\infty [/mm] f(x)dx$ dann ist
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \sum\limits_{v=1}^k Res(f;a_v)$
[/mm]
Wobei [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_k [/mm] die Singularitäten der oberen Halbebene sind. |
Seien P und Q zwei Polynome mit der Eigenschaft
Grad Q [mm] \ge [/mm] 2+ Grad P.
Das Polynom Q möge keine relle Nullstelle haben. Dann erfüllt die rationale Funktion
[mm] f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}
[/mm]
mit dem Definitionsbereich
Im z [mm] >-\epsilon [/mm] , [mm] \epsilon [/mm] > 0 genügend klein,
die Vorraussetzung [mm] $\limes_{r\rightarrow\infty} \int\limits_{\alpha_r}f(z)dz [/mm] =0$
Okay, soweit steht das in meinem Buch zur Funktionentheorie.
Ich verstehe nicht wieso wenn $f$ diese Form hat, die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind?
Wär super wenn mir das jemand erklären könnte.
Grüße,
Aurelie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Disap |
> Uneigentliches Integral der Gestalt
> [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)dx[/mm]
> Sei [mm]\alpha_r[/mm] der
> Halbkreisbogen von -r bis r mit r [mm]\in \IR[/mm]
>
> Gilt [mm]\limes_{r\rightarrow\infty} \int\limits_{\alpha_r} f(z)dz=0[/mm]
>
> und existiert [mm]\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx[/mm] dann ist
>
> [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 2\pi i \sum\limits_{v=1}^k Res(f;a_v)[/mm]
>
> Wobei [mm]a_1[/mm] bis [mm]a_k[/mm] die Singularitäten der oberen Halbebene
> sind.
> Seien P und Q zwei Polynome mit der Eigenschaft
> Grad Q [mm]\ge[/mm] 2+ Grad P.
>
> Das Polynom Q möge keine relle Nullstelle haben. Dann
> erfüllt die rationale Funktion
> [mm]f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}[/mm]
> mit dem Definitionsbereich
> Im z [mm]>-\epsilon[/mm] , [mm]\epsilon[/mm] > 0 genügend klein,
> die Vorraussetzung [mm]\limes_{r\rightarrow\infty} \int\limits_{\alpha_r}f(z)dz =0[/mm]
>
>
>
> Okay, soweit steht das in meinem Buch zur
> Funktionentheorie.
>
> Ich verstehe nicht wieso wenn [mm]f[/mm] diese Form hat, die oben
> genannten Voraussetzungen erfüllt sind?
Das liegt daran, dass für dein f erfüllt ist: $ [mm] \limes_{r\rightarrow\infty} \int\limits_{\alpha_r}f(z)dz [/mm] =0 $
Warum das erfüllt ist, steht auf
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
> Wär super wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielleicht konkretisierst du einfach noch mal deine Frage, weil unter "diese Form" und "oben genannten Voraussetzungen" kann ich mir nicht viel vorstellen.
Meinst du damit f(z) = [mm] \frac{P(z)}{Q(z)} [/mm] oder wie?
Sorry, aber ich sehe gerade nicht, wo genau dein Problem liegt.
MfG
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 10.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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