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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 04.09.2007 | | Autor: | Linn |
| Aufgabe | Augabe 1)
Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral 1/(5-3cos(t))dt von 0 bis 2pi. Sie sollten als Ergebnis pi/2 finden.
Aufgabe 2)
Berechnen Sie für alle natürlichen Zahlen n mit Hilfe des Residuensatzes das Integral I=(sin(t))^2n dt von 0 bis 2pi. Sie sollten als Ergebnis I= 2*pi(2n über n)/2^2n finden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe den Residuensatz noch nie bei trigonometrischen Funktionen verwendet und bin ein bisschen hilflos. Bisher hatten wir immer gebrochenrationale Fkt. und haben mit der Nullstellenberechnung des Nenners angefangen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
> Augabe 1)
> Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
> 1/(5-3cos(t))dt von 0 bis 2pi. Sie sollten als Ergebnis
> pi/2 finden.
>
> Aufgabe 2)
> Berechnen Sie für alle natürlichen Zahlen n mit Hilfe des
> Residuensatzes das Integral I=(sin(t))^2n dt von 0 bis 2pi.
> Sie sollten als Ergebnis I= 2*pi(2n über n)/2^2n finden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Ich habe den Residuensatz noch nie bei trigonometrischen
> Funktionen verwendet und bin ein bisschen hilflos. Bisher
> hatten wir immer gebrochenrationale Fkt. und haben mit der
> Nullstellenberechnung des Nenners angefangen
Ja, trigonometrische Integrale musst du umformen. Meist hilft Folgendes:
1. Ersetze die trigonometrischen Funktionen durch Exponentialfunktionen:
[mm] \sin t = \bruch {1}{2i}\left(\mathrm{e}^{it} - \mathrm{e}^{-it} \right) [/mm], [mm] \cos t = \bruch {1}{2}\left(\mathrm{e}^{it} + \mathrm{e}^{-it} \right) [/mm]
2. Transformiere die Integrationsvariable: [mm]z=\mathrm{e}^{it} [/mm], sodass der Integrand eine rationale Funktion wird. Dabei wird aus dem Integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm] ein Kurvenintegral über den positiv orientierten Einheitskreis.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 04.09.2007 | | Autor: | Linn |
Ich habe verstanden, aus der trigonometrischen Fkt. eine Exponentialfunktion zu machen und da ein bisschen umgeformt, doch was meinst du mit e^it zu z transformieren. Wie soll das gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
> Ich habe verstanden, aus der trigonometrischen Fkt. eine
> Exponentialfunktion zu machen und da ein bisschen
> umgeformt, doch was meinst du mit e^it zu z transformieren.
> Wie soll das gehen?
Substitution der Integrationsvariablen kennst du doch?
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 04.09.2007 | | Autor: | Linn |
Ja, ich kann wohl e^it durch z ersetzen, aber was mache ich denn mit e^-it? Das stört doch. Oder kann ich das auch irgendwie ersetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Di 04.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
> Ja, ich kann wohl e^it durch z ersetzen, aber was mache ich
> denn mit e^-it? Das stört doch. Oder kann ich das auch
> irgendwie ersetzen?
Na klar, wende die Regeln für Exponenten an: [mm]\mathrm{e}^{-it} = \bruch{1}{\mathrm{e}^{it}}[/mm]
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 04.09.2007 | | Autor: | Linn |
Ich bin jetzt fleißig am Rechnen, weiß was du meinst und denke ich kreig das hin. Falls sich später nochmal Probleme ergeben, meld ich mich nochmal.
Auf jeden Fall erstmal herzlichen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Linn |
Hallo!
Ich bins nochmal und bin bei der Aufgabe nicht viel weitergekommen. Ich habe als Nennernullstellen 3 und 1/3 berechnet. Doch wie ich weitermache weiß ich nicht, da ich ein Integral von 0 bis 2*pi habe. Bisher hatten wir immer Aufgaben von -unendlich bis +unendlich, aber das kann man bestimmt nicht genauso machen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 10.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn!
> Ich bins nochmal und bin bei der Aufgabe nicht viel
> weitergekommen. Ich habe als Nennernullstellen 3 und 1/3
> berechnet. Doch wie ich weitermache weiß ich nicht, da ich
> ein Integral von 0 bis 2*pi habe.
Nein, du hast doch die Substitution [mm]z=\mathrm{e}^{it}[/mm] vorgenommen. Dadurch wird aus dem Integral von 0 bis [mm]2\pi[/mm] ein Integral über den Rand des Einheitskreises. Du hast also jetzt:
[mm] \bruch {2 i}{3} \integral_{\partial E} \bruch{dz}{(z-3)(z-1/3)} [/mm]
Jetzt kannst du den Residuensatz direkt anwenden: welche Singularität liegt innerhalb des Integrationsweges und was ist das zugehörige Residuum?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Linn |
Danke, das hat sehr weitergeholfen! Allerdings dachte ich 1/3 liegt innerhalb des Integrationsweges und ist somit die für mich wichtige Singularität. Doch bei der Berechnung stellt sich heraus, dass ich 1/(z-3) nehmen muss um pi/2 zu erhalten. Hab ich das jetzt irgendwie verdreht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 10.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
poste doch mal, was du gerechnet hast. Es geht ja nur um ein Vorzeichen, oder?
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Linn |
[mm] 2i\pi*\bruch{2i}{3}*\bruch{1}{z-3} [/mm] an der Stelle [mm] z=\bruch{1}{3}
[/mm]
= [mm] 2i\pi*\bruch{2i}{3}*\bruch{1}{-\bruch{8}{3}} [/mm]
aus i² wird dann -1 wodurch sich das Vorzeichen auflöst
[mm] =\pi/2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Di 11.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
du willst doch das Integral
[mm] \bruch {2 i}{3} \integral_{\partial E} \bruch{dz}{(z-3)(z-1/3)} [/mm]
ausrechnen. Nach dem Residuensatz ist das gerade
[mm] \bruch {2 i}{3} \integral_{\partial E} \bruch{dz}{(z-3)(z-1/3)} = \bruch {2 i}{3} * 2\pi i* \mathop{\mathrm{Res}}\limits_{z=1/3} \bruch{1}{(z-3)(z-1/3)}
[/mm]
Das Residuum ist per Definition der Vorfaktor des Terms [mm]\bruch{1}{z-1/3} [/mm] der Laurententwicklung an der Stelle 1/3, also wegen
[mm]\bruch{1}{(z-3)(z-1/3)} = \bruch{1}{z-1/3} \bruch{1}{(z-1/3)-8/3} = \bruch{1}{z-1/3} \left(\bruch{-3}{8}\right) \bruch{1}{1-\bruch{3}{8}(z-1/3)}[/mm]
[mm] = -\bruch{3}{8}\bruch{1}{z-1/3}\left(1 + \bruch{3}{8}\left(z-\bruch{1}{3}\right) + \bruch{9}{64}\left(z-\bruch{1}{3}\right)^2 + \dots\right)[/mm]
[mm] = -\bruch{3}{8}\bruch{1}{z-1/3} - \bruch{9}{64} - \bruch{27}{512}\left(z-\bruch{1}{3}\right) + \dots
[/mm]
gerade -3/8.
Insgesamt kommt [mm]\pi/2[/mm] raus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Linn |
Hallo Rainer! Vielen Dank für deine Mühe. Ich habe jetzt endlich verstanden, wie man das Residuum berechent. Allerdings weiß ich noch nicht, wo die [mm] \bruch{2i}{3} [/mm] vor dem Integral herkommen.
Dann hab ich mal die 2. Aufgabe begonnen zu rechnen. Da habe ich den Bruch soweit umgeformt, bis ich [mm] \bruch{(z^{4}-2z^{2}-1)^n}{(-4)^{n}*z^{2n}} [/mm] habe und das Ergebnis habe ich auch verändert zu: [mm] \bruch{4*\pi}{4^{n}*n!} [/mm] Nullstelle des Nenners ist wohl z=0.
Muss ich nun das Residuum ausrechnen? Und wie geht das mit dem ganzen hoch n?
Liebe Grüße Linn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 12.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Linn,
> Allerdings weiß ich noch nicht, wo die [mm]\bruch{2i}{3}[/mm] vor
> dem Integral herkommen.
Vom Ersetzen des Sinus und von der Substitution [mm]z=e^{it}[/mm].
> Dann hab ich mal die 2. Aufgabe begonnen zu rechnen. Da
> habe ich den Bruch soweit umgeformt, bis ich
> [mm]\bruch{(z^{4}-2z^{2}-1)^n}{(-4)^{n}*z^{2n}}[/mm] habe
Da fehlt auch der Faktor [mm]\bruch{1}{iz}[/mm] von der Substitution, und es muss im Zähler [mm](z^{4}-2z^{2}\red{+}1)[/mm] heißen.
> und das
> Ergebnis habe ich auch verändert zu:
> [mm]\bruch{4*\pi}{4^{n}*n!}[/mm]
Vorsicht! Ich glaube, du hast den Binomialkoeffizienten falsch ausgerechnet.
> Nullstelle des Nenners ist wohl
> z=0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich nun das Residuum ausrechnen? Und wie geht das mit
> dem ganzen hoch n?
Am besten du schreibst (Vorfaktoren habe ich weggelassen):
[mm]\bruch{1}{z} \bruch{(z^{4}-2z^{2}+1)^n}{z^{2n}} = \bruch{1}{z}\bruch{(z^2-1)^{2n}}{z^{2n}} = \bruch{1}{z}\bruch{\left(z^2\left(1-\bruch{1}{z^2}\right)\right)^{2n}}{z^{2n}} = \bruch{1}{z}\bruch{z^{4n}}{z^{2n}} \left(1-\bruch{1}{z^2}\right)^{2n} = z^{2n-1} \left(1-\bruch{1}{z^2}\right)^{2n}
[/mm]
Die letzte Klammer kannst du als Binomialsumme schreiben.
Welcher der Summanden gibt dein Residuum?
Viele Grüße
Rainer
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