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Hallo!
Benötige bitte eure Hilfe beim folgenden Bsp.:
Bestimmen sie die Residuen der isolierten Singularität der folgenden Funktion:
f(z)= [mm] \bruch{( \pi^2*z^2-1)}{(sin(1/z))}
[/mm]
Wenn ich mich nicht irre, hat diese Funktion zwei Singularitäten:
Pol 1.Ornung
a1= [mm] \bruch{1}{ \pi*k} [/mm] für k element der rellen Zahlen \ 0 ... Berechnung der Residue klar!
Doch dann müsste noch eine wesentliche Singularität vorliegen! Oder irre ich mich? Wenn nicht, ist es möglich davon die Residue zu berechnen?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
mfg
Vengeta020
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Vengeta020,
erstmal [mm] $\sin(z)$ [/mm] hat auch im komplexen nur die aus dem reelen bekannten Nullstellen bei [mm] $z=\pi k,\qquad \red{ k \in \IZ}$. [/mm] Damit wird der Nenner für [mm] $z=\frac{1}{\pi\cdot k}, \qquad k\in\IZ$ [/mm] Null.
Bei der Untersuchung der isolierten Singularität musst du doch entscheiden, ob es sich um eine hebare Singularität, einen Pol oder eine wesentliche Singularität handelt.
Betrachtest du noch den Zähler von $f$ für [mm] $z=\frac{1}{\pi \cdot k}$ [/mm] sieht man, dass für $k=1 [mm] (z=\frac{1}{\pi}$) [/mm] die Situation [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] auftritt.
Jetzt solltest du die Singularitäten entsprechend untersuchen.
Gruß Max
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