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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:54 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Art der Singularitäten, Residuen und Hauptteile von [mm] \bruch {1-cosz}{z^2} [/mm] |
hallo zusammen,
ich habe unheimliche Probleme mit der Funktionentheorie.. irgendwie leuchtet mir das ganze nicht ein. wie kann ich denn die sachen bestimmen, die oben gefragt sind ?
Singularitäten sind doch die Nullstellen des Nenners oder ?
wäre für jede art von hilfe dankbar
mfg
meep
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> Bestimmen Sie die Art der Singularitäten, Residuen und
> Hauptteile von [mm]\bruch {1-cosz}{z^2}[/mm]
> hallo zusammen,
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> ich habe unheimliche Probleme mit der Funktionentheorie..
> irgendwie leuchtet mir das ganze nicht ein. wie kann ich
> denn die sachen bestimmen, die oben gefragt sind ?
Am besten schaust Du mal die Definitionen dieser Begriffe in Deinem Skript/Lehrbuch nach...
> Singularitäten sind doch die Nullstellen des Nenners oder?
Ja, alledings liegt bei dieser Funktion $f(z) := [mm] \frac{1-\cos(z)}{z^2}$ [/mm] an der Stelle [mm] $z_0=0$ [/mm] eine hebbare Singularität vor.
$f(z)$ lässt sich daher um [mm] $z_0=0$ [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln:
[mm]f(z)=\frac{1-\cos(z)}{z^2}=\frac{1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}}{z^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}z^{2n}[/mm]
Der Hauptteil einer Funktion mit Laurentreihe [mm] $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n$ [/mm] ist [mm] $\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n$ [/mm] und ihr Residuum ist [mm] $a_{-1}$.
[/mm]
Bei Deiner Funktion ist somit der Hauptteil $0$ und das Residuum [mm] $a_{-1}=0$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:57 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
und genau da liegt der hund begraben .. ich verstehe die definition vom residuum nicht .. das mit der laurent reihe und den singularitäten hätte ich noch hinbekommen, aber bei den residuen schnall ichs absolut nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Gegeben sei das uneigentliche Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
a) Berechnen Sie das Integrals mithilfe des Residuensatzes.
b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der klassischen Integralrechnung. |
also rauskommen bei dem Integral müsste ja arctanx.
Was ich gemacht habe war folgendes.. erstmal hab ich die Nullstellen vom Nenner ermittelt und die sind ja x=i und x=-i. dann hab ich da stehen.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x+i)*(x-i)} dx}. [/mm] Und nun weiss ich schon nichtmehr weiter .. ich bin echt am verzweifeln...
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> Gegeben sei das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}[/mm]
> a)
> Berechnen Sie das Integrals mithilfe des Residuensatzes.
> b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der klassischen
> Integralrechnung.
> also rauskommen bei dem Integral müsste ja arctanx.
>
> Was ich gemacht habe war folgendes.. erstmal hab ich die
> Nullstellen vom Nenner ermittelt und die sind ja x=i und
> x=-i. dann hab ich da stehen.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{(x+i)*(x-i)} dx}.[/mm]
> Und nun weiss ich schon nichtmehr weiter .. ich bin echt am
> verzweifeln...
Statt zu verzweifeln könntest Du die Funktion [mm] $f(z):=\frac{1}{1+z^2}$ [/mm] über den geschlossenen Halbkreis mit auf der rellen Achse liegendem Durchmesser von $z=-R$ bis $z=+R$ und Halbkreisbogen in der oberen Halbebene [mm] ($\Im [/mm] z>0$) integrieren. Aufgrund des Residuensatzes erhältst Du für dieses Integral für alle $R>1$ aufgrund der einzigen eingeschlossenen Polstellle bei $z=i$ stets denselben Wert. Dieses Integral zerfällt aber in zwei Teile, der eine Teil entspricht dem reellen Integral [mm] $\int_{-R}^{+R}\frac{1}{1+x^2}\; [/mm] dx$.
Wenn Du nun [mm] $R\rightarrow +\infty$ [/mm] gehen lässt, sollte es gelingen zu zeigen, dass das Teilintegral über den Halbkreisbogen [mm] $\rightarrow [/mm] 0$ geht, so dass das Teilintegral über den Durchmesser $[-R;+R]$ gegen den gesuchten Wert [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\; [/mm] dx$ geht.
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