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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Johman |
Hi sitze grad vor ein paar Aufgaben und wollte mal gucken,ob mein gedankengang bis hierhin richtig war :D
Aufgabe:
Betrachten sie auf D:= [mm] \IC \{i} [/mm] die Funktion f:D [mm] \to \IC f(z):=\bruch{sin(z)}{z+i}
[/mm]
a)Klassifizieren sie die Singularität von f im Punkt -i
dazu habe ich mir gedacht
sin(z)= [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!} [/mm] *z^(2n)
und den rest des bruches forme ich um in eine geometrische reihe um mir dann die koeffizienten anzugucken die negativ sind (also die terme des hauptteils der reihe).kann ich nicht alternativ sagen: -i ist einfache nullstelle des termes z+i (wobei -i ja eindeutig ist bis auf vielfache von 2 [mm] \pi [/mm] ) und deshalb muss c= -i Plstelle der Ordnung 1 sein?
b) Bestimmen sie den Hauptteil der Laurentreihe
sin(z)= [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!} [/mm] *z^(2n)
übrig bleibt [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] das ganze also mal [mm] \bruch{z-i}{z-i}
[/mm]
ergibt [mm] \bruch{z-i}{(z^2)+1} [/mm] = (z-i)* [mm] \bruch{1}{1-(-z^2)} [/mm] und das ist als geometrische reihe [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} (-z^2)^n [/mm] dann die summen mit dem cauchyprodukt ausmultiplizieren und dann anschauen,welche koeffizienten negativ werden und dann hätte ich doch den hauptteil meiner laurentreihe oder?
hoffe die fragen sind nicht zu lang.wäre super wenn ihr mir weiterhelfen könntet gruss johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Di 23.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also a) würde ich folgendermaßen angehen:
sin(-i) = [mm] \bruch{1}{2i}*(e- e^{-1}) [/mm] nach der Eulerschen Formel.
Somit gilt
[mm] \limes_{z\rightarrow-i} [/mm] |f(z)| = [mm] \infty, [/mm] was laut Definition bedeutet, dass
-i ein Pol von f ist.
Beste Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 23.08.2005 | | Autor: | Johman |
okay die definition habe ich auch aber sie klassifiziert mir die singularität erstmal nur. um aber die ordnung rauszubekommen muss ich doch entweder die laurentreihe aufstellen oder aber auf die vf der nullstelle gucken oder? gruss johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 23.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johmann!
Dein Vorgehen ist hier richtig.
Ist $f(z) = [mm] \frac{g(z)}{h(z)}$ [/mm] mit in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] holomorphen Funktionen $g$ und $h$, [mm] $g(z_0)\ne [/mm] 0$ und $h$ hat in [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle der Ordnung $k$, dann hat $f$ in [mm] $z_0$ [/mm] einen Pol der Ordnung $k$.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Di 23.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johman!
> b) Bestimmen sie den Hauptteil der Laurentreihe
>
> sin(z)= [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!}[/mm]
> *z^(2n)
> übrig bleibt [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] das ganze also mal
> [mm]\bruch{z-i}{z-i}[/mm]
> ergibt [mm]\bruch{z-i}{(z^2)+1}[/mm] = (z-i)* [mm]\bruch{1}{1-(-z^2)}[/mm]
> und das ist als geometrische reihe [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} (-z^2)^n[/mm]
> dann die summen mit dem cauchyprodukt ausmultiplizieren
> und dann anschauen,welche koeffizienten negativ werden und
> dann hätte ich doch den hauptteil meiner laurentreihe
> oder?
Das kann ja wohl kaum so gemeint sein. Wenn du die Laurentreihe mit Entwicklungspunkt $0$ bildest, kommt ja (das siehst du auch an deinem Vorgehen) eine stinknormale Taylorreihe raus, da die Funktion in einer Umgebung von $z=0$ holomorph ist. Zudem sagt diese Laurentreihe dann nichts über das Wesen der Singularität in $z=-i$ aus. Du musst die Laurentreihe schon in $z=-i$ entwickeln! Hier könnten beim Sinus die Additionstheoreme helfen...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 23.08.2005 | | Autor: | Johman |
> Hallo Johman!
>
> > b) Bestimmen sie den Hauptteil der Laurentreihe
> >
> > sin(z)= [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!}[/mm]
> > *z^(2n)
> > übrig bleibt [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] das ganze also mal
> > [mm]\bruch{z-i}{z-i}[/mm]
> > ergibt [mm]\bruch{z-i}{(z^2)+1}[/mm] = (z-i)*
> [mm]\bruch{1}{1-(-z^2)}[/mm]
> > und das ist als geometrische reihe [mm]\summe_{i=0}^{ \infty} (-z^2)^n[/mm]
> > dann die summen mit dem cauchyprodukt ausmultiplizieren
> > und dann anschauen,welche koeffizienten negativ werden und
> > dann hätte ich doch den hauptteil meiner laurentreihe
> > oder?
>
> Das kann ja wohl kaum so gemeint sein. Wenn du die
> Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm]0[/mm] bildest, kommt ja (das
> siehst du auch an deinem Vorgehen) eine stinknormale
> Taylorreihe raus, da die Funktion in einer Umgebung von [mm]z=0[/mm]
> holomorph ist. Zudem sagt diese Laurentreihe dann nichts
> über das Wesen der Singularität in [mm]z=-i[/mm] aus. Du musst die
> Laurentreihe schon in [mm]z=-i[/mm] entwickeln! Hier könnten beim
> Sinus die Additionstheoreme helfen...
>
> Viele Grüße
> Julius
>
oh no na klar also muss ich eine laurentreihen entwicklung suchen um i
da ich aber schon weiss,dass i ein pol der ordnung 1 ist,gibt es nur ein glied des hauptteiles der laurentreihe,nämlich das residuum = [mm] a_{-1} =res_{c} [/mm] f= [mm] \bruch{g(c)}{h´(c)} [/mm] = [mm] \bruch{sin(i)}{1+i}
[/mm]
so und den positiven teil der laurentreihe kann ich doch als taylorentwicklung von sin(z) um -i darstellen oder?
gruss johannes
edit:ansonsten hätte ich nämlich keine ahnung wie die laurentreihe aussehen müsste :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Frage wurde in einem anderen Thread beantwortet.
Viele Grüße
Julius
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