Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 31.05.2006 | | Autor: | fips |
| Aufgabe | | Berechne Sie [mm] \integral_{\gamma} e^{-\bruch{1}{z}}sin(1/z)dz [/mm] wenn [mm] \gamma [/mm] der Einheitskreis ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielleicht könnt ihr mir bei diesem Problem weiterhelfen.
die isolierte Singularität liegt bei z=0
Ich weiß das ich dieses Integral mit Hilfe des Residuensatzes berechnen muss und ich brauch dazu [mm] Res(f(z),0)=a_{-1} [/mm]
habe mir die Reihendarstellung von [mm] sin(1/z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{z^{2n+1}(2n+1)!} [/mm] und [mm] e^{-\bruch{1}{z}}=\summe_{n=0}^{\infty}z^{n}n! [/mm] berechnet. [mm] \Rightarrow [/mm] das 0 bei sin(1/z) eine wesentliche Singularität und bei [mm] e^{-\bruch{1}{z}} [/mm] eine hebbare Singularität ist.
Ich komme einfach nicht dahinter wie ich diese zwei Reihen zusammenfassen kann um auf mein Residuum [mm] a_{-1} [/mm] zu kommen.
Oder weiß wer einen anderen Lösungsweg?
Vielen Dank im Vorraus.
lg philipp
|
|
| |
|
Die Reihe für [mm]\operatorname{e}^{-\frac{1}{z}}[/mm] ist falsch.
[mm]\operatorname{e}^{-\frac{1}{z}} \cdot \sin{\frac{1}{z}} = \left( 1 - \frac{1}{z} + \frac{1}{2} \, \frac{1}{z^2} \mp \ldots \right) \cdot \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{6} \, \frac{1}{z^3} \pm \ldots \right) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z^2} + \frac{1}{3} \, \frac{1}{z^3} + \ldots[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Do 01.06.2006 | | Autor: | fips |
okay vielen dank. jetzt macht alles mehr sinn.
lg philipp
|
|
|
|
