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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 05.07.2015 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | | Architekt A. arbeitet immer jeweils drei Wochen im Büro und ist anschließend eine Woche auf der Baustelle. Die Fahrten zur Baustelle werden dabei von seiner Firma bezahlt, für die Fahrten ins Büro nutzt er das Auto auf eigene Kosten. Hierzu benötigt er genau eine Tankfüllung pro Woche. Diese kostet ihn in der ersten Woche 50 Euro, danach steigen die Benzinpreise wöchentlich um 0,5%. Gehen Sie davon aus, dass das Jahr genau 52 Wochen hat. Wie viel Geld hätte A. am Ende eines Jahres angespart, wenn er anstatt mit seinem Auto mit dem Fahrrad ins Büro fahren, und die dadurch wegfallenden wöchentlichen Benzinkosten jeweils am Ende der Woche auf ein extra eingerichtetes Konto mit einem Zinssatz von 3,5% p.a. einzahlen würde? |
Hallo,
in unserer Lösung steht:
Ersparnis, wenn A. jede Woche im Büro arbeiten würde (Endwert nachschüssige wöchentliche, geometrisch wachsende Rente)
50 * [mm] \bruch{q^{52/52}-c^{52}}{q^{1/52}-c} [/mm] = 50 * [mm] \bruch{1,035-1,005^{52}}{1,035^{1/52}-1,005} [/mm] = 3009,19
Davon sind jeweils die Wochen abzuziehen, in denen A. auf der Baustelle arbeitet, insgesamt eine nachschüssige Rente, welche alle vier Wochen fällig ist (insgesamt 13 mal) und mit dem Faktor [mm] 1,005^4 [/mm] wächst. Abzuziehen ist daher:
[mm] (50*1,005^3) [/mm] * [mm] \bruch{1,035^{13*4/52}-1,005^{4*13}}{1,035^{4/52}-1,005^4} [/mm] = 745,94
Insgesamt ergibt sich ein Endwert von
K1= 3009,19 - 745,94 = 2252
Ich verstehe nicht so ganz wie man auf [mm] (50*1,005^3) [/mm] * [mm] \bruch{1,035^{13*4/52}-1,005^{4*13}}{1,035^{4/52}-1,005^4} [/mm] = 745,94
kommt. Wieso wird z.B. mit (50 * [mm] 1,005^3) [/mm] multipliziert und wieso ist im Nenner [mm] 1,035^{4/52}-1,005^4?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mo 06.07.2015 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
> Architekt A. arbeitet immer jeweils drei Wochen im Büro
> und ist anschließend eine Woche auf der Baustelle. Die
> Fahrten zur Baustelle werden dabei von seiner Firma
> bezahlt, für die Fahrten ins Büro nutzt er das Auto auf
> eigene Kosten. Hierzu benötigt er genau eine Tankfüllung
> pro Woche. Diese kostet ihn in der ersten Woche 50 Euro,
> danach steigen die Benzinpreise wöchentlich um 0,5%. Gehen
> Sie davon aus, dass das Jahr genau 52 Wochen hat. Wie viel
> Geld hätte A. am Ende eines Jahres angespart, wenn er
> anstatt mit seinem Auto mit dem Fahrrad ins Büro fahren,
> und die dadurch wegfallenden wöchentlichen Benzinkosten
> jeweils am Ende der Woche auf ein extra eingerichtetes
> Konto mit einem Zinssatz von 3,5% p.a. einzahlen würde?
> Hallo,
>
> in unserer Lösung steht:
>
> Ersparnis, wenn A. jede Woche im Büro arbeiten würde
> (Endwert nachschüssige wöchentliche, geometrisch
> wachsende Rente)
>
> 50 * [mm]\bruch{q^{52/52}-c^{52}}{q^{1/52}-c}[/mm] = 50 *
> [mm]\bruch{1,035-1,005^{52}}{1,035^{1/52}-1,005}[/mm] = 3009,19
>
> Davon sind jeweils die Wochen abzuziehen, in denen A. auf
> der Baustelle arbeitet, insgesamt eine nachschüssige
> Rente, welche alle vier Wochen fällig ist (insgesamt 13
> mal) und mit dem Faktor [mm]1,005^4[/mm] wächst. Abzuziehen ist
> daher:
>
> [mm](50*1,005^3)[/mm] *
> [mm]\bruch{1,035^{13*4/52}-1,005^{4*13}}{1,035^{4/52}-1,005^4}[/mm]
> = 745,94
>
> Insgesamt ergibt sich ein Endwert von
>
> K1= 3009,19 - 745,94 = 2252
>
>
> Ich verstehe nicht so ganz wie man auf [mm](50*1,005^3)[/mm] *
> [mm]\bruch{1,035^{13*4/52}-1,005^{4*13}}{1,035^{4/52}-1,005^4}[/mm]
> = 745,94
> kommt. Wieso wird z.B. mit (50 * [mm]1,005^3)[/mm] multipliziert
> und wieso ist im Nenner [mm]1,035^{4/52}-1,005^4?[/mm]
Abgestellt wird auf eine vierwöchige Betrachtung. Damit ist der Jahreszins darauf umzurechnen. Die Steigerung mit 0,5% findet wöchentlich statt, so daß bei der Vierwochenberechnung die vierte Potenz anzusetzen ist. Da der Ausgangspunkt des Benzinpreises 50 ist, hat es zum Ende der ersten vier Wochen eine dreimalige Steigerung gegeben.
Gruß
Staffan
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