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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Di 12.11.2013 | | Autor: | rafaelp |
| Aufgabe | Sei [mm] x\in\left[ -\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2} \right] [/mm], [mm] n\in\IN\sub [/mm] und [mm] S_n\left( x \right) := \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{x!} [/mm] die n-te Partialsumme der Exponentialfunktion.
Wie groß muss n gewählt werden, damit:
[mm] \left| e^x - S_n\left( x \right) \right| \le \bruch{\left| e^x \right|}{10^{16}} [/mm]
gewährleistet werden kann ?
Hinweis: Die Bedingung drückt aus, dass die ersten 16 Dezimalstellen korrekt approximiert werden oder anders ausgedrückt, dass der relative Fehler zwischen exaktem und approximiertem Wert kleiner als [mm]10^{-16}[/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich bin neu hier und hoffe auf eure Hilfe.
Ich habe diese Aufgabe als Übung in der Vorlesung Numerik gestellt bekommen und stehe auf dem Schlauch.
Die Hilfestellung/Beispiele unseres Lehrstuhls sind leider sehr dürftig...
Über einen Lösungsansatz oder link zu einer vergleichbaren Aufgabe mit Lösung würde ich mich sehr freuen.
Rafael
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Hallo rafaelp,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]x\in\left[ -\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2} \right] [/mm],
> [mm]n\in\IN\sub[/mm] und [mm]S_n\left( x \right) := \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{x!}[/mm]
> die n-te Partialsumme der Exponentialfunktion.
> Wie groß muss n gewählt werden, damit:
>
> [mm]\left| e^x - S_n\left( x \right) \right| \le \bruch{\left| e^x \right|}{10^{16}}[/mm]
>
> gewährleistet werden kann ?
>
Zunächst musst Du Dir klar werden, wo die maximale Differenz auftritt.
Da die Exponentialfunktion monoton steigend ist, ist das am rechten
Intervallende der Fall.
Berechne dann die Differenz zwischen Exponentialfunktion
und der n.ten Partialsumme.
> Hinweis: Die Bedingung drückt aus, dass die ersten 16
> Dezimalstellen korrekt approximiert werden oder anders
> ausgedrückt, dass der relative Fehler zwischen exaktem und
> approximiertem Wert kleiner als [mm]10^{-16}[/mm] ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> Ich bin neu hier und hoffe auf eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Aufgabe als Übung in der Vorlesung Numerik
> gestellt bekommen und stehe auf dem Schlauch.
>
> Die Hilfestellung/Beispiele unseres Lehrstuhls sind leider
> sehr dürftig...
>
> Über einen Lösungsansatz oder link zu einer
> vergleichbaren Aufgabe mit Lösung würde ich mich sehr
> freuen.
>
> Rafael
Gruss
MathePower
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