Relationen überprüfen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Relation R auf der Menge M :={A;B;C} sei definiert durch
R:= {(A,A);(A,B);(A,C);(B,B);(B,C);(C,C)}.
a) Überprüfen Sie, ob die Relation R eine
i) Totalordnung auf M
ii) Äquivalenzrelation auf M
iii) Funktion f: M [mm] \to [/mm] M ist. (Begründung!)
b) Berechnen Sie für S:= {(A,A);(B,B);(C,C);(C,A)} die Schnittmenge R [mm] \cap [/mm] S und die Vereinigungsmenge R [mm] \cup [/mm] S. Sind R [mm] \cap [/mm] S und R [mm] \cup [/mm] S symmetrische Relationen bzw. Funktionen auf M? (Begründung!) |
Hallo Leute, ich bereite mich gerade auf die bevorstehende Mathe Klausur vor und bin nun fleißig am üben. Bin mir bei manchen Aufgaben jedoch unsicher , ob mein Gedankengang und das Ergebnis richtig ist.
Mein Lösungsansatz hier lautet:
a)
i) Totalordnung auf M? R müsste dazu eine vollständige Ordnung sein, also reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.
- R ist reflexiv [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: xRx bzw. (x,x) [mm] \in [/mm] R
hier: (A,A); (B,B); (C,C) [mm] \Rightarrow [/mm] R ist reflexiv.
- R ist antisymmetrisch [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: (xRy [mm] \wedge [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y) bzw. ((x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] x=y)
hier: (A,B) [mm] \wedge [/mm] (B,A) [mm] \Rightarrow [/mm] A=B [mm] \Rightarrow [/mm] R ist antisymmetrisch.
- R ist transitiv [mm] \gdw \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] M: (xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz)
hier: (A,B) [mm] \wedge [/mm] (B,C) [mm] \Rightarrow [/mm] (A,C) [mm] \Rightarrow [/mm] R ist transitiv
- R ist vollständig [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: (xRy [mm] \vee [/mm] yRx)
hier: z.b. (A,B) [mm] \vee [/mm] (B,A) [mm] \Rightarrow [/mm] R ist vollständig.
-- R ist somit eine Totalordnung auf M
ii) Äquivalenzrelation auf M? R müsste dazu reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
R ist hier reflexiv und transitiv, jedoch nicht symmetrisch, da wie bei i) gezeigt antisymmetrisch.
-- R ist keine Äquivalenzrelation auf M
iii) Funktion f: M [mm] \to [/mm] M
Hier weiß ich leider nicht wie ich das beweisen kann.
b)
R [mm] \cap [/mm] S := {(A,A);(B,B);(C,C)}
R [mm] \cup [/mm] S := {(A,A);(A,B);(A,C);(B,B);(B,C);(C,C);(C,A)}
- R [mm] \cap [/mm] S ist symmetrisch [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: (xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx)
hier: (A,B) [mm] \Rightarrow [/mm] (B,A) [mm] \Rightarrow [/mm] R [mm] \cap [/mm] S ist symmetrisch.
- R [mm] \cap [/mm] S ist eine Funktion auf M? Hier weiss ich leider nicht wie ich das beweisen kann.
- R [mm] \cup [/mm] S ist symmetrisch [mm] \gdw \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: (xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx)
hier: (A,C) [mm] \Rightarrow [/mm] (C,A) [mm] \Rightarrow [/mm] R [mm] \cup [/mm] S ist nicht symmetrisch (weil antisymmetrisch).
- R [mm] \cup [/mm] S ist eine Funktion auf M? Hier weiss ich leider nicht wie ich das beweisen kann.
Vielen Dank im voraus
Gruß Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Fr 10.09.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Tobias,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Relation R auf der Menge M :={A;B;C} sei definiert
> durch
> R:= {(A,A);(A,B);(A,C);(B,B);(B,C);(C,C)}.
>
> a) Überprüfen Sie, ob die Relation R eine
> i) Totalordnung auf M
> ii) Äquivalenzrelation auf M
> iii) Funktion f: M [mm]\to[/mm] M ist. (Begründung!)
>
> b) Berechnen Sie für S:= {(A,A);(B,B);(C,C);(C,A)} die
> Schnittmenge R [mm]\cap[/mm] S und die Vereinigungsmenge R [mm]\cup[/mm] S.
> Sind R [mm]\cap[/mm] S und R [mm]\cup[/mm] S symmetrische Relationen bzw.
> Funktionen auf M? (Begründung!)
> Hallo Leute, ich bereite mich gerade auf die bevorstehende
> Mathe Klausur vor und bin nun fleißig am üben. Bin mir
> bei manchen Aufgaben jedoch unsicher , ob mein Gedankengang
> und das Ergebnis richtig ist.
>
> Mein Lösungsansatz hier lautet:
>
> a)
>
> i) Totalordnung auf M? R müsste dazu eine vollständige
> Ordnung sein, also reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
> und vollständig.
>
> - R ist reflexiv [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: xRx bzw. (x,x) [mm]\in[/mm]
> R
> hier: (A,A); (B,B); (C,C) [mm]\Rightarrow[/mm] R ist reflexiv.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> - R ist antisymmetrisch [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: (xRy [mm]\wedge[/mm]
> yRx [mm]\Rightarrow[/mm] x=y) bzw. ((x,y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y,x) [mm]\in[/mm] R
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=y)
> hier: (A,B) [mm]\wedge[/mm] (B,A) [mm]\Rightarrow[/mm] A=B [mm]\Rightarrow[/mm] R
> ist antisymmetrisch.
Das Beispiel mit (A,B) ist etwas unglücklich gewählt.
Es muss für alle (x,y) [mm] \in [/mm] R gezeigt werden
>
> - R ist transitiv [mm]\gdw \forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M: (xRy [mm]\wedge[/mm] yRz
> [mm]\Rightarrow[/mm] xRz)
> hier: (A,B) [mm]\wedge[/mm] (B,C) [mm]\Rightarrow[/mm] (A,C) [mm]\Rightarrow[/mm] R
> ist transitiv
, es fehlen noch z.B. (A,B) [mm]\wedge[/mm] (B,B) [mm]\Rightarrow[/mm] (A,B) [mm]\Rightarrow[/mm] R
>
> - R ist vollständig [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: (xRy [mm]\vee[/mm]
> yRx)
> hier: z.b. (A,B) [mm]\vee[/mm] (B,A) [mm]\Rightarrow[/mm] R ist
> vollständig.
Nur ein richtiges Beispiel reicht nicht aus, es muss für alle Elemente aus M [mm] $\times$ [/mm] M gezeigt werden.
>
> -- R ist somit eine Totalordnung auf M
>
> ii) Äquivalenzrelation auf M? R müsste dazu reflexiv,
> symmetrisch und transitiv sein.
>
> R ist hier reflexiv und transitiv, jedoch nicht
> symmetrisch, da wie bei i) gezeigt antisymmetrisch.
>
> -- R ist keine Äquivalenzrelation auf M
>
> iii) Funktion f: M [mm]\to[/mm] M
> Hier weiß ich leider nicht wie ich das beweisen kann.
R ist eine Funktion genau dann, wenn R linkstotal und rechtseindeutig ist.
R ist linkstotal [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] M: xRy
R ist rechtseindeutig [mm]\gdw \forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M: (xRy [mm]\wedge[/mm] xRz [mm]\Rightarrow[/mm] y=z) bzw. ((x,y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (x,z) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] y=z)
>
> b)
> R [mm]\cap[/mm] S := {(A,A);(B,B);(C,C)}
> R [mm]\cup[/mm] S := {(A,A);(A,B);(A,C);(B,B);(B,C);(C,C);(C,A)}
>
> - R [mm]\cap[/mm] S ist symmetrisch [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: (xRy
> [mm]\Rightarrow[/mm] yRx)
> hier: (A,B) [mm]\Rightarrow[/mm] (B,A) [mm]\Rightarrow[/mm] R [mm]\cap[/mm] S ist
> symmetrisch.
>
> - R [mm]\cap[/mm] S ist eine Funktion auf M? Hier weiss ich leider
> nicht wie ich das beweisen kann.
>
> - R [mm]\cup[/mm] S ist symmetrisch [mm]\gdw \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] M: (xRy
> [mm]\Rightarrow[/mm] yRx)
> hier: (A,C) [mm]\Rightarrow[/mm] (C,A) [mm]\Rightarrow[/mm] R [mm]\cup[/mm] S ist
> nicht symmetrisch (weil antisymmetrisch).
R [mm]\cup[/mm] S ist nicht antisymmetrisch, da (A,C) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (C,A) [mm] \in [/mm] R
R [mm]\cup[/mm] S ist nicht symmetrisch, da (B,C) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (C,B) [mm] \not\in [/mm] R
>
> - R [mm]\cup[/mm] S ist eine Funktion auf M? Hier weiss ich leider
> nicht wie ich das beweisen kann.
>
>
> Vielen Dank im voraus
> Gruß Tobias
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß meili
|
|
|
|
