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| Aufgabe | | Wieso ist {(1,1)} nicht reflexiv? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich verstehe nicht, wieso (1,1) nicht reflexiv ist. Die ursprüngliche Aufgabe lautet: Geben Sie alle Äquivalenzrelationen auf der Menge {1,2} an. Ich weiß, dass es 2 gibt: einmal {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} und {(1,1),(2,2)}, da diese reflexiv, transitiv und symmetrisch sind. {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} ist symmetrisch da (1,1) -> (1,1) in der Relation, (1,2) -> (2,1) in der Relation, (2,1) -> (1,2) in der Relation und (2,2)->(2,2) in der Relation. {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} ist transitiv, da (1,1) und (1,2) -> (1,2) in der Relation, (1,2) und (2,1) -> (1,1) in der Relation, (1,2) und (2,2) -> (1,2) in der Relation, (2,1) und (1,1) -> (2,1) in der Relation. {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} reflexiv, da (1,1) und (2,2) in der Relation. {(1,1),(2,2)} ist symmetrisch, da (1,1) -> (1,1) in der Relation und (2,2)->(2,2) in der Relation.
{(1,1),(2,2)} ist transitiv, da ...? Hier ist mein erstes Problem. Warum ist das transitiv? Es gibt doch nur 2 Tupel, aber ich brauche doch 3, um Transitivität zu zeigen.
{(1,1),(2,2)} ist reflexiv, da (1,1) in der Relation und (2,2) in der Relation sind.
So jetzt zu meiner obigen Frage. Warum ist {(1,1)} keine Äquivalenzrelation von der Menge {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}? Es ist transitiv, wobei ich auch hier nicht weiß wieso, aus dem gleichen Problem heraus wie oben. Es ist symmetrisch, da (1,1) vertauschbar ist und wieder (1,1) ergibt und das in der Relation ist. Warum ist es denn nun nicht reflexiv?
liebe Grüße
Milchschelle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Milchschelle,
> ich verstehe nicht, wieso (1,1) nicht reflexiv ist. Die
> ursprüngliche Aufgabe lautet: Geben Sie alle
> Äquivalenzrelationen auf der Menge {1,2} an. Ich weiß,
> dass es 2 gibt: einmal {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} und
> {(1,1),(2,2)}, da diese reflexiv, transitiv und symmetrisch
> sind.
> {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} ist transitiv, da (1,1)
> und (1,2) -> (1,2) in der Relation, (1,2) und (2,1) ->
> (1,1) in der Relation, (1,2) und (2,2) -> (1,2) in der
> Relation, (2,1) und (1,1) -> (2,1) in der Relation.
Da fehlen ein paar zu prüfende Beziehungen:
(1,1) und (1,1)
(2,1) und (1,1)
(2,2) und (2,2)
(2,2) und (2,1)
(Man kann sich überlegen, dass man Elemente der Form (a,a) bei der Transitivitätsprüfung stets außer Acht lassen kann. (*) )
> {(1,1),(2,2)} ist transitiv, da ...? Hier ist mein erstes
> Problem. Warum ist das transitiv? Es gibt doch nur 2 Tupel,
> aber ich brauche doch 3, um Transitivität zu zeigen.
Zwei Anmerkungen:
1. Mehrfach das gleiche Paar wäre nach Definition der Transitivität auch zu prüfen. (Nach (*) kann man sich das jedoch sparen.)
2. Die Transitivitätsbedingung lautet (mit [mm] $M=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $R=\{(1,1),(2,2)\}$):
[/mm]
Für alle [mm] $x,y,z\in [/mm] M$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ gilt [mm] $(x,z)\in [/mm] R$.
Gäbe es nun gar keine [mm] $x,y,z\in [/mm] M$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$, wäre die Transitivität trivialerweise erfüllt. Wenn du anfangen würdest, alle Fälle für [mm] $x,y,z\in [/mm] M$ mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ und [mm] $(y,z)\in [/mm] R$ durchzuprobieren, wärst du auch schon fertig, hättest alle 0 Fälle durchprobiert und bei keinem einzigen nicht [mm] $(x,z)\in [/mm] R$ erhalten.
> So jetzt zu meiner obigen Frage. Warum ist {(1,1)} keine
> Äquivalenzrelation von der Menge
> {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}?
Nennen wir mal [mm] $R':=\{(1,1)\}$ [/mm] und [mm] $R'':=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$.
[/mm]
R' ist gar keine Relation auf R'', da nicht [mm] $R'\subseteq R''\times [/mm] R''$ gilt.
R' ist jedoch eine Relation auf [mm] $M=\{1,2\}$.
[/mm]
Als solche ist R' nicht reflexiv, denn Reflexivität hieße:
Für alle [mm] $x\in [/mm] M$ gilt [mm] $(x,x)\in [/mm] R'$.
Und für [mm] $x=2\in [/mm] M$ gilt eben nicht [mm] $(x,x)\in [/mm] R'$.
Würdest du dagegen R' als Relation auf der Menge [mm] $M':=\{1\}$ [/mm] betrachten, so wäre R' reflexiv und eine Äquivalenzrelation.
Viele Grüße
Tobias
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Oh cool danke, jetzt habe ich es verstanden.=)
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