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| Aufgabe | Sei R eine reflexive Relation auf der Menge M. Beweisen Sie
R ist Äquivalenzrelation auf M [mm] \gdw \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] M : xRz [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRy |
Hi,
mein Ansatz [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 \wedge y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] = [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1+x_2 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
Auf diese Aufgabe gibt es 3 Punkte, deswegen bin ich mir nicht sicher ob ich das so machen kann???
greeeez
Jonas
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> Sei R eine reflexive Relation auf der Menge M. Beweisen
> Sie
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> R ist Äquivalenzrelation auf M [mm]\gdw \forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M :
> xRz [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRy
> Hi,
>
> mein Ansatz [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = [mm]z_1[/mm] + [mm]z_2 \wedge y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] = [mm]z_1[/mm] +
> [mm]z_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_1+x_2[/mm] = [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
>
> Auf diese Aufgabe gibt es 3 Punkte, deswegen bin ich mir
> nicht sicher ob ich das so machen kann???
Hallo,
ganz sicher kannst Du das nicht so machen, und zwar nicht wegen der drei Punkte, sondern deshalb, weil nirgendwo steht, daß man die Elemente der Menge M irgendwie addieren kann oder daß die Addition irgendetwas mit der Relation zu tun hat.
Man kann beweise nur richtig führen, wenn erstens die begriffe klar sind und man zweitens nachgeschut hat, was unter welchen Voraussetzungen zu zeigen ist.
Zu klärende Begriffe:
Relation, reflexive Relation , Äquivalenzrelation.
Die zu beweisenden Behauptungen:
A: R ist reflexiv und Äquivalenzrelation auf M ==> [ [mm] \forall[/mm] [/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M : xRz [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRy]
Voraussetzung: R ist reflexiv und Äquivalenzrelation auf M
zu zeigen: (x,y,z [mm]\in[/mm] M und xRz und yRz) [mm]\Rightarrow[/mm] xRy
Beweis: Sei x,y,z [mm]\in[/mm] M und xRz und yRz.
Nun Eigenschaften der Äquivalenzrelation verwenden.
B: [ R ist reflexiv und [mm] \forall[/mm] [/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M : xRz [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRy] ==> R ist Äquivalenzrelation auf M
Voraussetzung: [R ist reflexiv und [mm] \forall[/mm] [/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] M : xRz [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRy]
zu zeigen: R ist Äquivalenzrelation, d.h. ???
Was mußt Du hier also zeigen?
Gruß v. Angela
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okay...soweit hab ich das jetzt verstanden^^...und die Fallunterscheidung leuchtet auch ein!
Nun muss ich ja beweisen, dass aus
xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz folgt, dass xRz [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
und
umgekehrt...
oder=?
Wie zeigt man das mit Relationen?
Reflexivität und Symmetrie helfen mir nicht sonderlich oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Gerade die machen ja eine Äquivalenzrelation aus, und die solltest du dann auch verwenden.
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> okay...soweit hab ich das jetzt verstanden^^...und die
> Fallunterscheidung leuchtet auch ein!
Hallo,
'ne Fallunterscheidung ist das nicht. das sind die beiden beweisrichtungen.
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> Nun muss ich ja beweisen, dass aus
> xRy [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRz folgt, dass xRz [mm]\wedge[/mm] yRz
> [mm]\Rightarrow[/mm] xRz
> und
> umgekehrt...
> oder=?
Nein, lies Dir genau durch, was vorausgesetzt ist:
R ist reflexiv (was bedeutet das eigentlich?)
und es gilt: aus xRz und yRz folgt xRy.
Zeigen mußt Du nun die Symmetrie und Transitivität der Relation, unter Ausnutzung der geltenden Voraussetzungen.
Du mußt Dir also für die Symmetrie überlegen, wie Du von xRy zu yRx kommst,
wenn Du die Symmetrie hast, ist die Transitivität dann leicht.
Gruß v. Angela
> Wie zeigt man das mit Relationen?
>
> Reflexivität und Symmetrie helfen mir nicht sonderlich
> oder??
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