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| Aufgabe | Die Relationen R, S,T [mm] \subseteq \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] sollen auf folgende Eigenschaften überprüft werden: Transitivät, Symmetrie, Antisymmetrie.
Positive Antwort: Kurze Begründung (in der Regel reicht ein Satz)
Negative Antwort: Konkretes Gegenbeispiel als Beleg
m R n [mm] \gdw [/mm] jeder Primteiler von m ist auch Teiler von n
m S n [mm] \gdw [/mm] m ist ein echter Teil von n, d.h. m | n und m [mm] \not= [/mm] n
m T n [mm] \gdw [/mm] die Summe aller Primzahlen, die m bzw. n teilen, sind gleich (jeder Primteiler wird nur einzeln gezählt) |
m R n
Transitiv (positiv): m R n [mm] \wedge [/mm] n R o [mm] \to [/mm] m R o
Ja, denn wenn die Primteiler von n o teilen, muss o ein Vielfaches von dem selber Teiler sein, der auch m teilt.
Symmetrie (negativ): m R n -> n R m
Gegenbeispiel: (26, 130) Nicht jeder Primteiler von 130 (2,13,5) ist Teiler von 26.
Antisymmetrie (positiv):
Wenn m = n, dann ist m R n -> n R m
m S n
Transitiv (negativ): (m | n [mm] \wedge [/mm] m [mm] \not= [/mm] n) [mm] \wedge [/mm] (n | o [mm] \wedge [/mm] n [mm] \not= [/mm] o) [mm] \to [/mm] (m | o [mm] \wedge [/mm] m [mm] \not= [/mm] o)
Gegenbeispiel: (10,100,10) 100 teilt-nicht 10, aber (10,10,10) nicht möglich, da m [mm] \not= [/mm] n, n [mm] \not= [/mm] o und m [mm] \not= [/mm] o
Symmetrie (negativ):
Gegenbeispiel: 5 | 10 ist ein echter Teiler, m [mm] S^{-1} [/mm] n : 10 teilt nicht 5, es ist kein echter Teiler
Antisymmetrie (negativ)
Gegenbeispiel: 10 | 10 ist ein echter Teiler, m [mm] S^{-1} [/mm] n auch, aber Widerspruch mit der Relationsbedingung von S m [mm] \not= [/mm] n
m T n
Transitivität (positiv)
Ja, bewiesen durch Primfaktorzerlegung, wenn m und n aus den selben Primfaktoren bestehen, dann muss das auch für n und o der Fall sein, somit reiht sich m und o hier ein. Ein Primfaktor bei n oder m mehr, würde sich mit der Aussage über m und n überschneiden.
Symmetrie (positiv)
Ja, denn die Summe bleibt gleich, da kein Faktor mehr als beim anderen Element vorhanden sein darf.
Antisymmetrie (negativ)
Gegenbeispiel: (26, 52), 26 = 13 * 2 und 52 = 13 * 2 * 2 : Bei beiden beträgt die Primfaktorensumme: 14, obwohl m [mm] \not= [/mm] n
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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