Relation von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 22.11.2009 | | Autor: | denice |
Hallo. Bräuchte hier mal wieder Hilfe.
Es seinen M und N Mengen und f : M -> N eine surjektive Abbildung.Wir definieren eine Relation
auf M:
a [mm] \sim [/mm] b : [mm] \gdw [/mm] f(a) = f(b)
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Die Klasseneinteilung [mm] M/\sim :=\{a_xI a \in M\} [/mm] ist ja selbst wieder eine Menge. Zeigen Sie, dass
im Fall, dass N endlich ist, gilt:
| [mm] M/\sim [/mm] |= | N |
c) Gibt es eine Abbildung g : N -> [mm] M/\sim [/mm] ?.
Bis jetzt verstehe ich nur a). Dort wird einfaches prüfen der Def. der Äquivaenzr. verlangt.
Bei b) weiss ich nicht wie das mit der Klasseneinteilung gemeint ist. Was kann ich mir darunter vorstellen?
Liebe Grüsse Denice
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Also nochmal zu b)
Ich weiss, dass bei endlichen + surjektiven Mengen gilt: [mm] |M|\le|N|
[/mm]
Nur verstehe ich das mit der Menge M ohne die Elemente die in Relation zu den Elementen in N stehen nicht. Wäre für Tipps dankbar!
Liebe Grüsse Denice
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
siehe Antwort zur Hauptfrage
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Das war natürlich falsch. Ich meinte M in der Klasseneinteilung.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Es seinen M und N Mengen und f : M -> N eine surjektive
> Abbildung.Wir definieren eine Relation
> auf M:
> a [mm]\sim[/mm] b : [mm]\gdw[/mm] f(a) = f(b)
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
> (b) Die Klasseneinteilung [mm]M/\sim :=\{a_xI a \in M\}[/mm] ist
> ja selbst wieder eine Menge. Zeigen Sie, dass
> im Fall, dass N endlich ist, gilt:
> | [mm]M/\sim[/mm] |= | N |
> c) Gibt es eine Abbildung g : N -> [mm]M/\sim[/mm] ?.
>
> Bis jetzt verstehe ich nur a). Dort wird einfaches prüfen
> der Def. der Äquivaenzr. verlangt.
> Bei b) weiss ich nicht wie das mit der Klasseneinteilung
> gemeint ist. Was kann ich mir darunter vorstellen?
Deine Schreibweise ist nicht OK, weil x und I vom Himmel fallen. Die Äquivalenzklassen entstehen als Teilmengen von M, und in eine Teilmenge packe ich alle zueinander äquivalenten Elemente, also [mm] M_x [/mm] := [mm] \{ a \in M | a \sim x \}. [/mm] Man zeigt dann, daß das eine Klasseneinteilung ergibt, daß also M die disjunkte Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ist: M = [mm] \bigcup_{x \in M}^{} M_x
[/mm]
Des weiteren ist [mm] M/\sim [/mm] := [mm] \{M_x\} [/mm] eine Menge von Mengen, manchmal auch Mengensystem genannt.
Die Beh. in b) ist jetzt: Es gibt genauso viele Äquivalenzklassen wie Elemente von N.
Das kannst du z. B. beweisen, indem du eine bijektive Abb. zwischen den beiden Mengen stiftest.
Die Antwort auf c) ist dann übrigens ganz einfach. Warum?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Erstmal danke!
Mein Problem ist es die Elemente in Klassen einzuteilen. Nach welchem Kriterium werden die eingeteilt? Jedes Element der Menge M darf ja auch nur in genau einer Klasse vertreten sein.
LG
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> Mein Problem ist es die Elemente in Klassen einzuteilen.
> Nach welchem Kriterium werden die eingeteilt?
Hallo,
nach dem Kriterium der Äquivalenz:
in [mm] M_x [/mm] sind alle zu x äquivalenten Elemente.
> Jedes Element
> der Menge M darf ja auch nur in genau einer Klasse
> vertreten sein.
Das ergibt sich dann automatisch aus dieser Einteilung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Klar. Habe gerade den Fehler gemacht und bin davon ausgeganen, dass ein Element surjektiv auf 2 verschiedene Elemente abgebildet werden kann was natürlich schwachsinnig ist.
Ich gehe also davon aus, das f:M->N surjektiv ist. Dann teile ich die Elemente von M in Äquivalenzklassen ein und zwar in den Klassen auf die, die Elemente abegbilldet werden. Somit wird |M/~|=|N| erfüllt.
Das wäre meine Begründung dazu.
Zu c) ja eine bijektive, da die Elemente auf die Klassen abgebildet werden und diese genau einer Klasse zugeordnet sind.
Ich hoffe das ist so richtig.
LG Denice
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Klar. Habe gerade den Fehler gemacht und bin davon
> ausgeganen, dass ein Element surjektiv auf 2 verschiedene
> Elemente abgebildet werden kann was natürlich
> schwachsinnig ist.
> Ich gehe also davon aus, das f:M->N surjektiv ist.
> Dann teile ich die Elemente von M in Äquivalenzklassen
> ein und zwar in den Klassen auf die, die Elemente
> abegbilldet werden. Somit wird |M/~|=|N| erfüllt.
> Das wäre meine Begründung dazu.
Ich bin damit als Begründung nicht einverstanden. Gerade weil du offenbar mit solchen Formulierungen noch nicht richtig umgehen kannst, würde ich vorschlagen, daß du das sehr sorgfältig und formal korrekt mit einer Begründung für jeden einzelnen Schritt aufschreibst.
Wie sieht die bijektive Abb. [mm] \varphi: [/mm] M/~ [mm] $\to$ [/mm] N aus? Warum ist sie wohldefiniert? Und warum ist sie bijektiv?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Ja danke! :)
Ich wollte die Aufgabe ja erstmal begreifen, um sie dann in Ruhe zu formulieren.
Danke und liebe Grüsse
Denice
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