Relation und Äquivalenzklasse < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f,g sind differenzierbare funktionen
f ~ g falls f' = g' (Die ableitungen)
a) zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation definiert
b) Was ist die Äquivalenzklasse der Funktion f(x) = 0 |
zu a) kann ich hier beweisen in dem ich sage
reflexiv weil für alle f' aus F': (f', f') aus R (Relation)
symmetrisch: weil wenn (f', g') aus R dann ist auch (g', f') aus R
transitiv: wenn (f', g') aus R und (g', h') aus R dann ist auch (f', h') aus R
damit bin ich doch noch nicht fertig oder?? wie kann ich das in mathematisch exakter notation wiedergeben?
zu b) was genau ist eine Äquivalenzklasse und vielleicht ein bisschen umschrieben weil die notationen in der vorlesung helfen mir leider gerade nicht mir es vorstellen und verstehen zu können
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich habe den Eindruck, du hast nur die Bedingungen für reflexiv, symmetrisch und transitiv aufgeschrieben. Aber das zu verstehen ist ja schon ein guter Anfang. Allerdings ist (f´,f´) kein Element von R. Mit F´bezeichnest du vermutlich die Menge der differenzierbaren Funktionen. Dann ist R [mm] \subset [/mm] F´x F´
Du willst die Reflexivität beweisen, also für alle f [mm] \in [/mm] F´muss gelten: (f,f) [mm] \in [/mm] R .
(oder in anderer Schreibweise f~f). Die Bedingung dafür ist f´=f´. Das ist aber selbstverständlich richtig. So das waren deine Vorüberlegungen. Schreiben würde ich nur:
Für alle f [mm] \in [/mm] F´gilt: f´=f´ [mm] \Rightarrow [/mm] f~f für alle f [mm] \in [/mm] F´
Vielleicht schaffst du ja den Rest nun selbst. Wenn nicht melde dich nocheinmal.
Unter einer Äquivalenzklasse stelle ich mir alle zueinander äquivalenten Element aus der zugrundeliegenden Menge, hier also aus F´vor.
Gruß korbinian
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Danke schon einmal
Für mich ist es unheimlich schwer etwas nur durch buchstaben zu beweisen und mit hilfe der definitionen
das f'=f' gilt erscheint mir ja logisch, gilt reflexivität eigentlich immer?
nur wie erkläre ich dass gilt f'=g' und somit auch g'=f' ich meine für mich ist das logisch dass (x²+5)' = (x²+6)' immer noch stimmt für (x²+6)' = (x²+5)'
aber ein beispiel darf ich ja nicht nennen also frage ich nochmal wie ich das mathematisch beweisen kann für symmetrie und transitivität ohne sätze dazu zu schreiben und ohne die definition exakt widerzu geben
liebe grüße
Richard
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Hallo Richard,
> Für mich ist es unheimlich schwer etwas nur durch
> buchstaben zu beweisen und mit hilfe der definitionen
Das ist am Anfang vielen so gegangen; aber das ist zu lernen. Nur Mut!
> das f'=f' gilt erscheint mir ja logisch, gilt reflexivität
> eigentlich immer?
Nein. Wenn die Relation z.B. heißt: "größer sein als". Eine Zahl ist nicht größer als sie selbst.
> nur wie erkläre ich dass gilt f'=g' und somit auch g'=f'
gar nicht. Beim Gleichheitszeichen ist es doch egal was auf welcher Seite steht. Aber du hast recht: man sollte es für einen ausführlichen Beweis der Symmetrie hinschreiben. Also:
f~g [mm] \Rightarrow [/mm] f´=g´ [mm] \Rightarrow [/mm] g´=f´ [mm] \Rightarrow [/mm] g~f
Transitivität:
Ist f~g und g~h dann folgt f´=g´und g´=h´ [mm] \Rightarrow [/mm] f´=h´ [mm] \Rightarrow [/mm] f~h
Vielleicht kannst du das als "formale Spielerei" auffassen. Dann kann´s auch Spaß machen - hoffe ich.
Gruß korbinian
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Hallo korbinian,
zunächst einmal: ziemlich gut erklärt!!
habe dieselbe aufgabe...
die reflexivität von f' erscheint mir plausibel.
Warum darfst du aus f~g folgern, dass f' = g' gilt?
Zu zeigen ist ja: äquivalenzrelation oder nicht...
Aus der vorlesung geht hervor, dass man eine äquivalenzrelation mit zwei "aussagen" beweisen kann...
[mm] \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{b} [/mm] oder [mm] \overline{a} \wedge \overline{b} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
wobei a,b [mm] \in [/mm] R und R [mm] \subset [/mm] A x A ist und
[mm] \overline{a} [/mm] = {b [mm] \in [/mm] A / a ~ b} gilt.
naja jetzt weiss ich wie eine äquivalenzrelation und äquivalenzklasse definiert wird, aber immer noch nicht wie der bezug zu den differenzierbaren mengen hergestellt wird.
ein gedanke von mir wäre jetzt die gleichheit der äquivalenzklassen zu zeigen um daraus auf die gleichheit der ableitungen zu schliessen.
also [mm] \overline{f} [/mm] = [mm] \overline{g} \Rightarrow [/mm] f' = g'... geht das in die richtige richtung?
gruss mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 So 21.10.2007 | | Autor: | mathlooser |
hab mir deine Lösungsansätze übrigens angeschaut, verstehe nur nicht, warum du von f~g auf f' = g' folgern darfst oder kannst.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 So 21.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Warum darfst du aus f~g folgern, dass f' = g' gilt?
f~g BEDEUTET, dass f'=g'. In Worten ausgedruckt ist f~g soviel wie: f steht in Relation zu g, falls f'=g'. Um die Symmetrie der Relation zu zeigen holt man sich zwei beliebige diffbare Funktionen f und g, die in Relation stehen, also f~g, was gleichbedeutend mit f'=g' ist. Jetzt möchte man zeigen, dass g~f, was das gleiche ist wie zu zeigen, dass g'=f' (was ohne Weiteres offensichtlich ist). Mehr ist da hinter.
> naja jetzt weiss ich wie eine äquivalenzrelation und
> äquivalenzklasse definiert wird, aber immer noch nicht wie
> der bezug zu den differenzierbaren mengen hergestellt
> wird.
Angenommen K ist die Menge der Funktionen, die eine Äquivalenzklasse bzgl. f(x):=0 bilden. Dann muss für jedes beliebige [mm] g\in [/mm] K gelten: g'=f'=0.
Gruß,
dormant
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| Aufgabe | Sei [mm] C^1(R) [/mm] die Menge der differenzierbaren Funktionen f : R [mm] \Rightarrow [/mm] R. Wir
nennen zwei Funktionen f, g [mm] \in C^1(R) [/mm] äquivalent und schreiben f ~ g, falls f' = g', wobei f' die Ableitung von f bezeichne und analog g' die Ableitung von g.
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation definiert. |
danke für die antwort!!
so oben nochmal die exakte Frage.
da steht f ~ g gilt, falls f' = g'...wie zeige ich das f' = g' gilt? Du sagst das es die bedeutung ist, aber dann würde da doch nich "falls" stehen oder?
Mein Ansatz sieht so aus:
Sei [mm] C^1 [/mm] die Menge der diffbaren fktn., dann [mm] \exists [/mm] ein R [mm] \subset C^1 [/mm] x [mm] C^1 [/mm] mit folgenden eigenschaften:
Symmetrie: f ~ g [mm] \Rightarrow [/mm] f' = g', wobei ich immer noch nicht verstehe wieso ich das hier darf...
[mm] \Rightarrow [/mm] g' = f' [mm] \Rightarrow [/mm] g ~ f
Reflexivität: Sei f [mm] \in C^1, [/mm] so gilt f' ~ f' [mm] \Rightarrow [/mm] f ~ f [mm] \forall [/mm] f [mm] \in C^1
[/mm]
Transitivität: (f,g), (g,h) [mm] \in C^1 \Rightarrow [/mm] (f,h) [mm] \in C^1
[/mm]
ist irgendwie ziemlich verwirrend, weil ich die ganze zeit versuche den stoff aus der vorlesung, die aufgabe und die anworten hier in einklang zu bringen...ich hab auch probleme mit der korrekten schreibweise wie man sicherlich bemerkt...
danke und gruss
mathlooser
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> Sei [mm]C^1(R)[/mm] die Menge der differenzierbaren Funktionen f : R
> [mm]\Rightarrow[/mm] R. Wir
> nennen zwei Funktionen f, g [mm]\in C^1(R)[/mm] äquivalent und
> schreiben f ~ g, falls f' = g', wobei f' die Ableitung von
> f bezeichne und analog g' die Ableitung von g.
>
> a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation definiert.
> danke für die antwort!!
>
> so oben nochmal die exakte Frage.
>
> da steht f ~ g gilt, falls f' = g'...wie zeige ich das f' =
> g' gilt? Du sagst das es die bedeutung ist, aber dann würde
> da doch nich "falls" stehen oder?
Hallo,
daß f'= g' gilt, mußt Du zeigen, wenn Du untersuchen willst, ob f und g mit [mm] f(x):=x^2 [/mm] und g(x):= [mm] x^2+7 [/mm] äquivalent sind, ob also [mm] f\sim [/mm] g.
Das Ergebnis wäre hier Ja, sie sind äquivalent.
Hingegen würde man feststellen, daß die durch k(x):= [mm] x^2 [/mm] und l(x):= sinx definierten Funktionen nicht äquivalent sind.
Sie spielen also für unserer Betrachtung keine Rolle. Wir führen ja Beweise über äquivalente Funktionen und nicht über nicht äquivalente.
> f ~ g gilt, falls f' = g'
erklärt lediglich das Zeichen ~.
>
> Mein Ansatz sieht so aus:
>
> Symmetrie:
Sei
> f ~ g [mm]\Rightarrow[/mm] f' = g', wobei ich immer noch
> nicht verstehe wieso ich das hier darf...
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g' = f' [mm]\Rightarrow[/mm] g ~ f
Richtig.
>
> Reflexivität:
>Sei f [mm]\in C^1.[/mm]
Natürlich ist f'=f'
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ~ f [mm]\forall[/mm] f [mm]\in C^1[/mm]
>
> Transitivität:
Zu zeigen: für f,g,h [mm] \in C^1(\IR) [/mm] gilt:
f~g und g~h ==> f~h
Bew.:
Es gelte also f~g und g~h
==> ???
Versuch's mal zu Ende zu bringen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 24.10.2007 | | Autor: | mathlooser |
Hallo Angela,
danke für die antwort, hier mein versuch:
Es gelte also f~g und g~h
dann gilt f' = g' und g' = h' [mm] \Rightarrow [/mm] f' = h' [mm] \Rightarrow [/mm] f ~ h.
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> danke für die antwort, hier mein versuch:
Der ist geglückt.
Ist doch gar nicht so schwierig!
Gruß v. Angela
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