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Forum "Diskrete Mathematik" - Relation, antisymmetrisch?
Relation, antisymmetrisch? < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Relation, antisymmetrisch?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mo 28.11.2011
Autor: studentxyz

Aufgabe
Auf der Menge M = P({a,b}) ist auf folgende Weise eine Relation definiert:

R = {(x,y) [mm] \in [/mm] M [mm] \times [/mm] M | x [mm] \subseteq [/mm] y}


Laut Lösung:
P({a,b)} = { [mm] \emptyset, [/mm] {a}, {b}, {a,b}}

Warum wird die leere Menge hier nicht in Mengenklammern geschrieben?


M [mm] \times [/mm] M = { [mm] (\emptyset, \emptyset), [/mm] ( [mm] \emptyset, [/mm] {a}), ( [mm] \emptyset, [/mm]  {b}), ( [mm] \emptyset, [/mm] {a,b}), ({a}, {a}), ({a}, {b}), ({a}, {a,b}), ({b}, {b}), ({b}, {a,b}), ({a,b}, {a,b})}

M [mm] \times [/mm] M ist nicht angegeben in der Lösung, stimmt das so?

R = {( [mm] \emptyset, \emptyset), [/mm] ( [mm] \emptyset, [/mm] {a} ), ( [mm] \emptyset, [/mm] {b}), [mm] (\emptyset, [/mm]  {a,b}), ({a}, {a}), ({a}, {a,b}), ({b}, {b}), ({b}, {a,b}), ({a,b}, {a,b})}

R ist laut Lösung richtig, als Begründung für nicht asymmetrisch steht dort:
( [mm] \emptyset, \emptyset [/mm] ) [mm] \in \IR [/mm]
Also sind Relationen die reflexiv sind automatisch nicht asymmetrisch?

antisymmetrisch:
Für alle Mengen x,y gilt
x [mm] \subseteq [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \subseteq [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x = y

Wenn ich jetzt aber ({a},{a,b}) betrachte ist doch das Gegenstück nicht vorhanden, also ({a,b},{a}) ?

transitiv:
Muss man bei transitiv auch Tupel betrachten bei denen x = y ist?

        
Bezug
Relation, antisymmetrisch?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Di 29.11.2011
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Auf der Menge M = P({a,b}) ist auf folgende Weise eine
> Relation definiert:
>  
> R = {(x,y) [mm]\in[/mm] M [mm]\times[/mm] M | x [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

y}

>  
> Laut Lösung:
>  P({a,b)} = { [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{a}, {b}, {a,b}}

>  
> Warum wird die leere Menge hier nicht in Mengenklammern
> geschrieben?

Die leere Menge \emptyset ist Teilmenge von {a,b}, also: \emptyset \in  P({a,b)}

>  
>
> M [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M = { [mm](\emptyset, \emptyset),[/mm] ( [mm]\emptyset,[/mm] {a}), (

> [mm]\emptyset,[/mm]  {b}), ( [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{a,b}), ({a}, {a}), ({a},

> {b}), ({a}, {a,b}), ({b}, {b}), ({b}, {a,b}), ({a,b},
> {a,b})}
>  
> M [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M ist nicht angegeben in der Lösung, stimmt das

> so?

Ja


>  
> R = {( [mm]\emptyset, \emptyset),[/mm] ( [mm]\emptyset,[/mm] {a} ), (
> [mm]\emptyset,[/mm] {b}), [mm](\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  {a,b}), ({a}, {a}), ({a},

> {a,b}), ({b}, {b}), ({b}, {a,b}), ({a,b}, {a,b})}
>  
> R ist laut Lösung richtig, als Begründung für nicht
> asymmetrisch steht dort:
>  ( [mm]\emptyset, \emptyset[/mm] ) [mm]\in \IR[/mm]
> Also sind Relationen die reflexiv sind automatisch nicht
> asymmetrisch?

Unsinn.

Meinst Du antisymmetrisch ? Die Relation R ist antisymmetrisch !


>  
> antisymmetrisch:
>  Für alle Mengen x,y gilt
>  x [mm]\subseteq[/mm] y [mm]\wedge[/mm] y [mm]\subseteq[/mm] x [mm]\Rightarrow[/mm] x = y
>  
> Wenn ich jetzt aber ({a},{a,b}) betrachte ist doch das
> Gegenstück nicht vorhanden, also ({a,b},{a}) ?

nochmal: antisymmetrisch:

         wenn xRy und   wenn yRx, dann x=y.

FRED

>  
> transitiv:
>  Muss man bei transitiv auch Tupel betrachten bei denen x =
> y ist?


Bezug
                
Bezug
Relation, antisymmetrisch?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:49 Mi 30.11.2011
Autor: studentxyz

Ok, da ging einiges durcheinander. War wohl zu müde.

Nochmal von vorne:
R = {( [mm] \emptyset,\emptyset), [/mm] ( [mm] \emptyset, [/mm] {a} ), ( [mm] \emptyset, [/mm] {b}), [mm] (\emptyset, [/mm]  {a,b}), ({a}, {a}), ({a}, {a,b}), ({b}, {b}), ({b}, {a,b}), ({a,b}, {a,b})}  

Die Relation ist nicht symmetrisch aber asymmetrisch weil:
( [mm] \emptyset, [/mm] {a} ) vorhanden ist aber nicht ( {a}, [mm] \emptyset). [/mm]

Für antisymmetrie braucht man ja laut Definition
(x,y) und (y,x) wobei x=y ist
das bedeutet dann ja das es 2 Tupel mit dem gleichen Inhalt geben muss oder nicht?
Was ja in einer Menge nicht vorkommen kann?

Bezug
                        
Bezug
Relation, antisymmetrisch?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Fr 02.12.2011
Autor: studentxyz

Hallo,

wäre super wenn die letzte Frage hier drüber jemand beantworten könnte, Danke.

Bezug
                        
Bezug
Relation, antisymmetrisch?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 02.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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