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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | BigDeal |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR^2:= \IR \times \IR. [/mm] Wir betrachten die Teilmengen
(a) [mm] R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}
[/mm]
(b) [mm] R_{2}:= \{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\}
[/mm]
(c) [mm] R_{3}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y=x^2)\}
[/mm]
Entscheiden Sie welche [mm] \IR_{i} \subset \IR^2 [/mm] nur eine Relation und welche - via f(x)=y eine Funktion definieren. Welche Funktion ist injektiv? |
Hallo,
laut Lösungsskizze ist (a) nur eine Relation und (b) & (c) definieren - via f(x)=y auch eine Funktion.
Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe (a).
So verstehe ich die Aufgabe:
[mm] R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\} [/mm] wäre -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm] f_{1}:\IR \to \IR, f(x)=\wurzel{x}.
[/mm]
Damit hätte die Funktion jedoch einen ungültigen Definitionsbereich auf ganz [mm] \IR, [/mm] da x niemals kleiner als 0 werden dürfte. Deshalb beschreibt [mm] R_{1} [/mm] keine Funktion.
1. Frage:
In der gegebenen Mengenschreibweise ist es widerum nicht falsch zu schreiben [mm] {(x,y)\in \IR^2|y^2=x\} [/mm] bzw. [mm] {(x,y)\in \IR^2|y=x^2\} [/mm] wie in Aufgabe (b)?
2. Frage:
Würde [mm] R_{4}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y^2=x)\} [/mm] -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm] f_{4}:[o,\infty[\to \IR, f(x)=\wurzel{x} [/mm] beschreiben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Do 02.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\IR^2:= \IR \times \IR.[/mm] Wir betrachten die
> Teilmengen
>
> (a) [mm]R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm]
> (b) [mm]R_{2}:= \{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\}[/mm]
>
> (c) [mm]R_{3}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y=x^2)\}[/mm]
>
> Entscheiden Sie welche [mm]\IR_{i} \subset \IR^2[/mm] nur eine
> Relation und welche - via f(x)=y eine Funktion definieren.
> Welche Funktion ist injektiv?
> Hallo,
> laut Lösungsskizze ist (a) nur eine Relation und (b) &
> (c) definieren - via f(x)=y auch eine Funktion.
>
> Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe (a).
> So verstehe ich die Aufgabe:
> [mm]R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm] wäre -via f(x)=y eine
> Funktion in der Form [mm]f_{1}:\IR \to \IR, f(x)=\wurzel{x}.[/mm]
>
> Damit hätte die Funktion jedoch einen ungültigen
> Definitionsbereich auf ganz [mm]\IR,[/mm] da x niemals kleiner als 0
> werden dürfte. Deshalb beschreibt [mm]R_{1}[/mm] keine Funktion.
Nein, das ist nicht richtig. Laut Definition enthält [mm] $R_1$ [/mm] nur diejenigen Punkte, die die Gleichung [mm] $y^2=x$ [/mm] erfüllen, und daher gehören Punkte mit negativem x nicht mit dazu.
Es ist vielmehr deswegen keine Funktion, weil es zu fast jedem möglichen Wert von x (nämlich zu jeder positiven reellen Zahl) zwei mögliche Werte von y gibt, die sich im Vorzeichen unterscheiden.
> 1. Frage:
> In der gegebenen Mengenschreibweise ist es widerum nicht
> falsch zu schreiben [mm]{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm] bzw. [mm]{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\}[/mm]
> wie in Aufgabe (b)?
Ich verstehe die Frage nicht.
>
> 2. Frage:
> Würde [mm]R_{4}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y^2=x)\}[/mm]
> -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm]f_{4}:[o,\infty[\to \IR, f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> beschreiben?
Genausowenig, da [mm] $R_4=R_1$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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