Relation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hi Leute.
Ich habe versucht in den Freien ein aar Aufgaben zu machen.
Bin gerade bei einer scheinbar leichten Aufgabe, wo mir aber irgendwie der Ansatz fehlt.
Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation auf der Menge M. Wo steckt der Fehler in der folgenden Argumentation?
Für a, b [mm] \in [/mm] M mit a ~ b gilt wegen der Symmetrie auch b ~ a. Wegen der Transitivität folgt aus a ~ b und b ~ a auch a ~ a. Die Relation ist also sogar reflexiv und damit eine Äquivalenzrelation.
Das erscheint mir irgendwie logisch, muss aber ein Fehler drin sein.
Könnte mir vielleicht jemand mit einem Gegenbeispiel helfen.
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo Eduard!
> Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation auf der
> Menge M. Wo steckt der Fehler in der folgenden
> Argumentation?
>
> Für a, b [mm]\in[/mm] M mit a ~ b gilt wegen der Symmetrie auch b ~
> a. Wegen der Transitivität folgt aus a ~ b und b ~ a auch a
> ~ a. Die Relation ist also sogar reflexiv und damit eine
> Äquivalenzrelation.
>
> Das erscheint mir irgendwie logisch, muss aber ein Fehler
> drin sein.
Das ist sogar verdammt logisch. Hat nur einen kleinen Haken: Ein Relation ~ auf einer Menge M heißt ja symmetrisch, wenn für alle a,b aus M gilt:
a ~ b [mm] \Rightarrow [/mm] b ~ a
Wenn man nun versuchte, deinen Beweis ganz korrekt zu formulieren, müsste man ja so anfangen:
"Sei a aus M. Ich möchte a ~ a zeigen. Es gibt ein b aus M mit a ~ b. Aus der Symmetrie folgt b ~ a. Aus der Transitivität folgt a ~ a. Also ist ~ reflexiv."
Das Fettgedruckte in dieser Fassung deines Beweises ist dein Fehler. Es gibt gar nicht immer ein solches b.
> Könnte mir vielleicht jemand mit einem Gegenbeispiel
> helfen.
Ja, natürlich:
Sei M = {1,2} und ~ = {(1,1)}. ~ ist symmetrisch und ~ ist transitiv, aber nicht reflexiv.
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 So 09.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Clemens und Edi1982,
ich möchte das ganze nur noch ergänzen, damit man das hier auch wirklich sieht:
> > Könnte mir vielleicht jemand mit einem Gegenbeispiel
> > helfen.
>
> Ja, natürlich:
> Sei M = {1,2} und ~ = {(1,1)}. ~ ist symmetrisch und ~ ist
> transitiv, aber nicht reflexiv.
Denn:
Wäre [mm] $\sim$ [/mm] reflexiv, so müßte auch $(2,2) [mm] \in\; \sim$ [/mm] gelten (da dann ja für alle $x [mm] \in [/mm] M$ auch $(x,x) [mm] \in\; \sim$ [/mm] gelten müßte).
Es kann nämlich sein, dass nicht jeder das sieht. 
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
