Rekursive Folge - Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei k [mm] \in \IN [/mm] und seien a>0 und [mm] x_{1}>0 [/mm] reelle Zahlen. die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] werde rekursiv definiert durch:
[mm] (x_{n+1}) =\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}}), [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Zeige, dass die Folge konvergent ist, und berechne den Grenzwert. |
Hallo zusammen!
Ich sitze seit einer Weile vor dieser Aufgabe, weiß auch, dass ich für die Konvergenz ja Monotonie und Beschränktheit der Folge untersuchen muss. Aber wie fange ich da an? Zunächst wollte ich mir die Folgenglieder einzeln anschauen, aber durch das k, dass nicht fest gewählt ist, komme ich da auch nicht weiter.
Kann mir vllt jemand helfen?
Liebe Grüße, Christina
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Sei k [mm]\in \IN[/mm] und seien a>0 und [mm]x_{1}>0[/mm] reelle Zahlen. die
> Folge [mm](x_{n})[/mm] werde rekursiv definiert durch:
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> [mm](x_{n+1}) =\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}}),[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Zeige, dass die Folge konvergent ist, und berechne den
> Grenzwert.
> Hallo zusammen!
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> Ich sitze seit einer Weile vor dieser Aufgabe, weiß auch,
> dass ich für die Konvergenz ja Monotonie und
> Beschränktheit der Folge untersuchen muss. Aber wie fange
> ich da an? Zunächst wollte ich mir die Folgenglieder
> einzeln anschauen, aber durch das k, dass nicht fest
> gewählt ist, komme ich da auch nicht weiter.
> Kann mir vllt jemand helfen?
>
> Liebe Grüße, Christina
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Als erstes wäre zu zeigen $x_n\ge\sqrt[k]{a}$ für alle n\ge 1.
Das scheint mir nicht ganz elementar, eine Möglichkeit wäre zu zeigen, dass die Funktion
$f(x)=\frac{1}{k}\left((k-1)x+\frac{a}{x^{k-1}\right)$ in $x_0=a^{1/k}$ ein Minimum hat.
Wenn du das hast, betrachtest du
$x_n-x_{n-1}=x_n-\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}})=\frac{1}{n}(x_n-\frac{a}{x_n^{k-1}})$,
was $\ge 0$ ist wegen $x_n^k\ge a$.
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Hallo, danke schonmal für deine Antwort.
Entschuldige, dass ich mich jetzt erst melde. Das mit dem Minimum erscheint mir klar und ich denke, dass ich das hinkriegen sollte. Ich frage mich allerdings warum ich
$ [mm] x_n-x_{n-1}=x_n-\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}})=\frac{1}{n}(x_n-\frac{a}{x_n^{k-1}}) [/mm] $
betrachten muss. Das sagt doch letztendlich aus, dass der Nachfolger größer ist als der Vorgänger und ich somit zwar nach unten ein Minimum habe, aber nach oben keine Beschränktheit, oder? Mir ist allerdings nicht klar, wie du letztendlich auf den Ausdruck [mm] \frac{1}{n}(x_n-\frac{a}{x_n^{k-1}}) [/mm] gekommen bist..
Liebe Grüße,
Christina
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> Hallo, danke schonmal für deine Antwort.
> Entschuldige, dass ich mich jetzt erst melde. Das mit dem
> Minimum erscheint mir klar und ich denke, dass ich das
> hinkriegen sollte. Ich frage mich allerdings warum ich
>
> [mm]x_n-x_{n-1}=x_n-\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}})=\frac{1}{n}(x_n-\frac{a}{x_n^{k-1}})[/mm]
Ich hab mich vertippt, natürlich muss das [mm] x_n-x_{n+1} [/mm] sein. Für [mm] x_n [/mm] ist ja dann auch die Rekursionsformel eingesetzt. Und so ist die Folge monoton fallend. Und auch weiter hinten muss es [mm] \frac{1}{k} [/mm] statt [mm] \frac{1}{n} [/mm] heißen. Das kommt von
[mm] x_n-\bruch{1}{k}((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}})=x_n-\frac{k-1}{k}x_n-\frac{1}{k}*\frac{a}{x_n^{k-1}}=\frac{1}{k}x_n-\frac{1}{k}*\frac{a}{x_n^{k-1}}
[/mm]
Ist nun [mm] x_n\ge a^{1/k}, [/mm] so ist [mm] \frac{a}{x_n^{k-1}}\le a*a^{-(k-1)/k}=a^{1/k}, [/mm] also ist die Differenz [mm] \ge [/mm] 0
> betrachten muss. Das sagt doch letztendlich aus, dass der
> Nachfolger größer ist als der Vorgänger und ich somit
> zwar nach unten ein Minimum habe, aber nach oben keine
> Beschränktheit, oder? Mir ist allerdings nicht klar, wie
> du letztendlich auf den Ausdruck
> [mm]\frac{1}{n}(x_n-\frac{a}{x_n^{k-1}})[/mm] gekommen bist..
>
> Liebe Grüße,
> Christina
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Danke dir! Die Monotonie ist mir jetzt vollkommen klar.
Nochmal zurück zur Beschränktheit. Wenn ich die Folge doch als Funktion auffasse und dann zeige, dass bei [mm] a^{\bruch{1}{k}} [/mm] ein Minimum entsteht, dann würde ich ja prinzipiell zur Ableitung greifen und die Extrema ausrechnen, oder bin ich auf dem Holzweg? Wäre dies nämlich der Fall, muss ich es irgendwie anders machen, da ich vermute, dass ich die Ableitung gar nicht nutzen darf, weil sie noch nicht definiert wurde..
Muss ich dann wie in vielen Lehrbüchern mit Induktion arbeiten? Und wie hast du überhaupt gesehen,dass [mm] a^{\bruch{1}{k}} [/mm] ein Minimum ist? Irgendwie sind mir diese rekursiven Folgen noch ein Rätsel.. -.-
Liebe Grüße
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Hallo Christina,
> Nochmal zurück zur Beschränktheit. Wenn ich die Folge
> doch als Funktion auffasse und dann zeige, dass bei
> [mm]a^{\bruch{1}{k}}[/mm] ein Minimum entsteht, dann würde ich ja
> prinzipiell zur Ableitung greifen und die Extrema
> ausrechnen, oder bin ich auf dem Holzweg? Wäre dies
> nämlich der Fall, muss ich es irgendwie anders machen, da
> ich vermute, dass ich die Ableitung gar nicht nutzen darf,
> weil sie noch nicht definiert wurde..
Es geht auch vollkommen ohne Differenzialrechnung.
Nach Definition (plus Umformung)
[mm] x_{n+1}^k=\left(\bruch{1}{k}\left((k-1)x_{n}+\bruch{a}{x^{k-1}_{n}}\right)\right)^k=x_n^k\left(1+\frac{a}{k x_n^k}-\frac{1}{k}\right)^k.
[/mm]
Da [mm] x_n>0 [/mm] (formaler Beweis Induktion) folgt [mm] \frac{a}{k x_n^k}-\frac{1}{k}\geq-1 [/mm] und die Bernoulliungleichung kann angewendet werden
[mm] x_{n+1}^k=x_n^k\left(1+\frac{a}{k x_n^k}-\frac{1}{k}\right)^k\geq x_n^k\left(1+\frac{a}{x_n^k}-1\right)=a.
[/mm]
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> Muss ich dann wie in vielen Lehrbüchern mit Induktion arbeiten?
Ja, das wäre dann eine Induktion.
> Und wie hast du überhaupt gesehen,dass
> [mm]a^{\bruch{1}{k}}[/mm] ein Minimum ist? Irgendwie sind mir diese
> rekursiven Folgen noch ein Rätsel.. -.-
Nun, die Vermutung liegt nahe  . Aber um so etwas zu sehen, braucht man schon ein bisschen Erfahrung.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Chrischina |
Woah, danke dir, jetzt hab ich sie hingekriegt :)
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