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Rekursive Folge: Rückfrage/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mi 04.01.2012
Autor: Pauli85

Aufgabe
Rekursive Folge in [mm] \IR: [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] > 0, [mm] x_{n+1}:= \bruch{2x_{n}}{1+x_{n}^{2}}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] x_{n} \le [/mm] 1 für n [mm] \ge [/mm] 2. Folgern Sie, dass [mm] (x_{n})_{n} [/mm] ab n=2 monoton wächst.

Hallo,
bei dieser Folge habe ich Probleme mit dem Induktion bzw. mit dem Wurzelziehen.
Für den Induktionsanfang muss ich ja n=2 prüfen, also [mm] x_{2}=\bruch{2*x_{1}}{1+x_{1}^{2}}. [/mm] Dies muss jetzt kleiner oder gleich 1 sein. Dafür muss der Zähler kleiner oder gleich dem Nenner sein, also erhalte ich die Ungleichung:
[mm] 2*x_{1} \le 1+x_{1}^{2} [/mm]
[mm] \gdw 1+x_{1}^{2} [/mm] - [mm] 2*x_{1} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw (x_{1}-1)^2 \ge [/mm] 0
Wenn ich jetzt die Wurzelziehe erhalte ich ja mein gewünschtes Ergebnis von [mm] x_{1} [/mm] > 1 aber auch [mm] x_{1} [/mm] < 1. Das selbe Problem habe ich dann auch im Induktionsschritt. Kann mir da jemand einen Tipp geben oder gehe ich die ganze Sache von Grund auf total falsch an?

Grüße

        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Mi 04.01.2012
Autor: fred97

Du brauchst doch keine Induktion ! Für n [mm] \in \IN [/mm]  gilt:

           [mm] x_{n+1} \le [/mm] 1   [mm] \gdw \bruch{2x_n}{1+x_n^2} \le [/mm] 1  [mm] \gdw 0\le 1-2x_n+x_n^2. [/mm]

Wenn die letzte Ungl. richtig ist, so ist auch [mm] x_{n+1} \le [/mm] 1 richtig.

Warum ist die letzte Ungl. richtig ?

FRED

Bezug
                
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Rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Mi 04.01.2012
Autor: Pauli85

Sorry komme grade nicht drauf, wieso die letzte Ungleichung richtig ist.

Bezug
                        
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Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mi 04.01.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Pauli85,


> Sorry komme grade nicht drauf, wieso die letzte Ungleichung
> richtig ist.  

Denke mal an die Binomischen Formeln!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
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Rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mi 04.01.2012
Autor: Pauli85

Ich kann das ganze ja zu
0 [mm] \le (x_{n}-1)^{2} [/mm]
zusammenfassen. Wenn ich dann die Wurzelziehe erhalte ich
[mm] x_{n} \ge [/mm] 1, aber auch
[mm] x_{n} \le [/mm] 1, was ja mein urpsrüungliches Problem war.

Oder kann man vor dem Wurzelziehen schon aufhören und argumentieren, dass das Produkt immer größer oder gleich 0 ist wegen dem Quadrat?

Danke & Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mi 04.01.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ich kann das ganze ja zu
>  0 [mm]\le (x_{n}-1)^{2}[/mm] [ok]
>  zusammenfassen. Wenn ich dann die
> Wurzelziehe erhalte ich
> [mm]x_{n} \ge[/mm] 1, aber auch
>  [mm]x_{n} \le[/mm] 1, was ja mein urpsrüungliches Problem war.
>
> Oder kann man vor dem Wurzelziehen schon aufhören und
> argumentieren, dass das Produkt immer größer oder gleich
> 0 ist wegen dem Quadrat?

Ja natürlich! Das ist ja das Praktische an Quadraten ;-)

>  
> Danke & Grüße

Gruß

schachuzipus


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Rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Mi 04.01.2012
Autor: Pauli85

Und langt es bei dem Nachweiß der Monotonie aus, wenn ich zeige, dass [mm] x_{n} \le x_{n+1} [/mm] und sage, dass dies für alle n [mm] \ge [/mm] 2 gilt oder muss ich dort  [mm] x_{n+1} \le x_{n+2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] zeigen?

Bezug
                                                        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Mi 04.01.2012
Autor: fred97


> Und langt es bei dem Nachweiß der Monotonie aus, wenn ich
> zeige, dass [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] und sage, dass dies für alle
> n [mm]\ge[/mm] 2 gilt oder muss ich dort  [mm]x_{n+1} \le x_{n+2}[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] zeigen?


Die Aussagen

              [mm]x_{n} \le x_{n+1}[/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2

und

                 [mm]x_{n+1} \le x_{n+2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]

sind doch äquivalent !!

FRED

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Rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Mi 04.01.2012
Autor: Pauli85

Gut danke, war mir nicht sicher ob ich einfach "ab n=2" schreiben darf.
Danke für die Unterstützung

Bezug
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