Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 01.11.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Die Folge [mm] a_{n} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2} a_{n} [/mm] + 1 für n [mm] \in [/mm] IN
a) berechne [mm] a_{3}
[/mm]
b) Sei n > 3. Geben Sie Formel für [mm] a_{n} [/mm] an, die lediglich von [mm] a_{n-3} [/mm] abhängt.
c) Zeigen sie per voll. induktion für alle n [mm] \in [/mm] IN
[mm] a_{n} [/mm] = 2 - [mm] (\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm] |
Bei a )
wenn ich jetzt a1 bestimmen will kann ich doch für n= 0
[mm] a_{0+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} a_{0} [/mm] + 1
da [mm] a_{0} [/mm] =1 folgt das a1 = 1,5 ist,
wenn ich allerdings bei der Aufgabe c) für n =1 einsetze ist a1 = 1
da [mm] a_{1} [/mm] = 2- [mm] (\bruch{1}{2})^{0} [/mm] = 1
Die Induktionsaufgabe habe ich gelöst, Ich denke das ich bei der a) einen Denkfehler habe?
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Hallo StevieG,
> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] sei rekursiv definiert durch
>
> [mm]a_{0}=1[/mm] und [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2} a_{n}[/mm] + 1 für n [mm]\in[/mm] IN
>
> a) berechne [mm]a_{3}[/mm]
> b) Sei n > 3. Geben Sie Formel für [mm]a_{n}[/mm] an, die
> lediglich von [mm]a_{n-3}[/mm] abhängt.
> c) Zeigen sie per voll. induktion für alle n [mm]\in[/mm] IN
>
> [mm]a_{n}[/mm] = 2 - [mm](\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm]
> Bei a )
>
> wenn ich jetzt a1 bestimmen will kann ich doch für n= 0
>
> [mm]a_{0+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} a_{0}[/mm] + 1
>
> da [mm]a_{0}[/mm] =1 folgt das a1 = 1,5 ist,
>
> wenn ich allerdings bei der Aufgabe c) für n =1 einsetze
> ist a1 = 1
>
> da [mm]a_{1}[/mm] = 2- [mm](\bruch{1}{2})^{0}[/mm] = 1
>
> Die Induktionsaufgabe habe ich gelöst, Ich denke das ich
> bei der a) einen Denkfehler habe?
Nein, Du hast keinen Denkfehler.
Vielmehr handelt es sich um ein Fehler in Teil c) der Aufgabe.
Dort muss es heißen: [mm]a_{n}=2-\left(\bruch{1}{2}\right)^{n}, \ n \in \IN[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 01.11.2010 | | Autor: | StevieG |
Ok dann frage ich mich wieso die c) funktioniert hat:
Induktionsschritt:
zZ: [mm] a_{n+1} [/mm] = 2 - [mm] (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] ( aus der aufgabe um n+1 erweitert)
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} a_{n} [/mm] +1 = [mm] \bruch{1}{2}[(2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2})^{n-1}] [/mm] +1 = 1 - [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm] +1 = 2 - [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm] = 2 - [mm] (\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
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Hallo StevieG,
> Ok dann frage ich mich wieso die c) funktioniert hat:
>
> Induktionsschritt:
>
> zZ: [mm]a_{n+1}[/mm] = 2 - [mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] ( aus der aufgabe um
> n+1 erweitert)
>
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} a_{n}[/mm] +1 = [mm]\bruch{1}{2}[(2[/mm] -
> [mm](\bruch{1}{2})^{n-1}][/mm] +1 = 1 - [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm]
> +1 = 2 - [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm] = 2 -
> [mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
Ok, das funktioniert zwar, aber die Folge
[mm]a_{n+1}= 2 - (\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
liefert Dir nicht die [mm]a_{n}[/mm]'s,
die Dir die rekursive Folge
[mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}*a_{n}+1[/mm]
liefert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 01.11.2010 | | Autor: | StevieG |
Ich sehe grade das es für :
[mm] a_{n+1}= [/mm] 2 - [mm] (\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm] ebenfalls funktioniert.
Vlt. beziehen sich die Aufgaben nicht aufeinander?
Dh es ist eine andere Folge...
oder wie siehst du das?
Also das Einsetzen mit [mm] a_{0} [/mm] ist aufjedenfall korrekt?
Lg
Stevie
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Der Induktionsschritt kann in gewissen Fällen auch dann funktionieren, wenn die Formel falsch ist. Deshalb muss man ja auch immer den Beweis für den Induktionsanfang machen, sonst wäre der ja überflüssig.
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Hallo StevieG,
> Ich sehe grade das es für :
>
> [mm]a_{n+1}=[/mm] 2 - [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] ebenfalls funktioniert.
>
> Vlt. beziehen sich die Aufgaben nicht aufeinander?
> Dh es ist eine andere Folge...
> oder wie siehst du das?
Die Aufgaben beziehen sich schon aufeinander,
nur liegt ein Fehler in der Teilaufgabe c) vor.
>
> Also das Einsetzen mit [mm]a_{0}[/mm] ist aufjedenfall korrekt?
Mit der korrigierten Folge
[mm]a_{n}=[/mm] 2 - [mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
,ja.
>
> Lg
>
> Stevie
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Klempner |
Hallo,
ich habe genau dieselben Aufgaben bekommen. Dabei kam ich bei der c.) genau auf die gleichen Erkenntnisse wie du. Werde einfach mal abwarten, was die Korrektur bringt.
Ich hatte allerdings bei der b.) so meine Probleme. Wir hatten bisher noch keine Folgen in der Vorlesung. Deshalb hab ich mich einfach versucht so entlang zu hangeln. Die a) und c.) konnte ich so eingermaßen bearbeiten. Wie hast du denn die b.) gelöst?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klempner,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Setze einfach wiederholt die rekursive Vorschrift ein:
[mm]a_n \ = \ \bruch{1}{2}*\red{a_{n-1}}+1 \ = \ \bruch{1}{2}*\left(\red{\bruch{1}{2}*a_{n-2}+1}\right)+1 \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Klempner |
Vielen lieben Dank!
Ist eigentlich gar nicht schwer, wenn man´s weiß.
Hast mir wirklich gehölfen :)
DAnke!
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