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Rekursive Folge: Rechnung so korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Mo 23.11.2009
Autor: oli_k

Aufgabe
[mm] a_{1}=\wurzel{6} [/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}} [/mm]

Grenzwert? Konvergenz?

Hallo,

ist das so korrekt aufgeschrieben?

Vermutung: monoton steigend, GW bei 3

1) Nachweis von [mm] a_n<3 [/mm] für jedes [mm] n\in\IN [/mm]
Vollständige Induktion für A(n): [mm] a_{n}<3 [/mm]
I-Anfang: A(1) ist wahr.
I-Schritt: [mm] a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}} I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm] n\ge{1} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm]

2) Nachweis der Monotonie:
[mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] => [mm] -2
Damit ist [mm] a_{n} [/mm] für alle n monoton und durch 3 beschränkt. Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge somit konvergent.

Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden? Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...

Danke!

        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Di 24.11.2009
Autor: fred97


> [mm]a_{1}=wurzel{6}[/mm]
>  [mm]a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}}[/mm]

Es soll wohl

[mm]a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}[/mm]

lauten



>  
> Grenzwert? Konvergenz?
>  Hallo,
>  
> ist das so korrekt aufgeschrieben?
>  
> Vermutung: monoton steigend, GW bei 3
>  
> 1) Nachweis von [mm]a_n<3[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
>  Vollständige Induktion für A(n): [mm]a_{n}<3[/mm]
>  I-Anfang: A(1) ist wahr.
>  I-Schritt: [mm]a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}}

Da hast Du Dich vielleicht nur vertippt: kein "<", sondern:       [mm] \wurzel{6+3}=3 [/mm]

FRED



>  I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm]n\ge{1}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>  
> 2) Nachweis der Monotonie:
>  [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm] => [mm]-2

>  
> Damit ist [mm]a_{n}[/mm] für alle n monoton und durch 3
> beschränkt. Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge
> somit konvergent.
>  
> Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu
> kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden?
> Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...
>  
> Danke!


Bezug
        
Bezug
Rekursive Folge: ACHTUNG: Doppelpost
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:35 Di 24.11.2009
Autor: reverend

Hallo an alle,

die gleiche Frage steht hier.

Ich hatte diese hier daher - allerdings ohne Hinweis - auf den Status einer Mitteilung zurückgesetzt.

lg
reverend

Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Di 24.11.2009
Autor: oli_k

Huch, weiß nicht, wie das passieren konnte. Glaube, dass ich beim Korrigieren des Wurzel-Fehlers das gleiche wohl nochmal geposted habe...

Sorry!

Bezug
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