Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Di 18.02.2014 | | Autor: | Morizz |
| Aufgabe | Seien $a,b [mm] \in \IR$. [/mm] Die Folge [mm] (a_{n})_{n} [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_{0}=a, a_{1}=b, a_{n}=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm] für [mm] n\ge~2. \\
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. |
Hallo :) In einer Matheprobeklausur bin ich auf diese Aufgabe gestoßen. Leider ist diese ohne Lösung, weswegen ich mal hier nachfrage :)
Für die Konvergenz habe ich mithilfe vollständiger Induktion gezeigt, dass die Folge beschränkant ist [mm] mit$a_n \le [/mm] a+b~ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] und dass sie monoton fällt, wenn $a,b [mm] \ge [/mm] 0$. Geht das auch ohne diese Annahme, dass a und b positiv sind?
Außerdem weiß ich nicht, wie ich auf den Grenzwert kommen soll. Bislang haben wir Grenzwerte immer mithilfe der Beziehung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n+1}) [/mm] bestimmt. Dieser Ansatz führt hier aber zur Aussage $a=a$, wenn $a$ der Grenzwert ist. Ich vermute mal stark, dass der Grenzwert 0 ist, weil er offenbar unabhängig von a und b ist (zumindest könnte man das bei der Aufgabenstellung vermuten) und a und b können auch negativ sein. Ich hab schon versucht, die ersten Folgengleider aufzuschreiben, und dann die Folge direkt über $n$ zu definieren und dann mit Induktion die Gleichheit zu beweisen und dann die Folge auf Konvergenz zu untersuchen. Das ist aber eigentlich viel zu kompliziert. Rechnet man die Punkte, die es für die Aufgabe gibt, auf die Zeit, die für die Klausur vorgesehen ist, um, sollte man die Aufgabe in 8 Minuten lösen können. Geht es also noch viel einfacher? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe! :)
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Hallo Morizz,
etwas gemeiner ist es schon...
> Seien [mm]a,b \in \IR[/mm]. Die Folge [mm](a_{n})_{n}[/mm] sei rekursiv
> definiert durch [mm]a_{0}=a, a_{1}=b, a_{n}=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm]
> für [mm]n\ge~2. \\[/mm]
> Beweisen Sie, dass die Folge konvergiert
> und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
> Hallo :) In einer Matheprobeklausur bin ich auf diese
> Aufgabe gestoßen. Leider ist diese ohne Lösung, weswegen
> ich mal hier nachfrage :)
>
> Für die Konvergenz habe ich mithilfe vollständiger
> Induktion gezeigt, dass die Folge beschränkant ist mit[mm]a_n \le a+b~ \forall n \in \IN[/mm]
> und dass sie monoton fällt, wenn [mm]a,b \ge 0[/mm].
Das stimmt nicht! Sie oszilliert um den Grenzwert.
> Geht das auch
> ohne diese Annahme, dass a und b positiv sind?
> Außerdem weiß ich nicht, wie ich auf den Grenzwert
> kommen soll. Bislang haben wir Grenzwerte immer mithilfe
> der Beziehung [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n+1})[/mm]
> bestimmt. Dieser Ansatz führt hier aber zur Aussage [mm]a=a[/mm],
> wenn [mm]a[/mm] der Grenzwert ist. Ich vermute mal stark, dass der
> Grenzwert 0 ist, weil er offenbar unabhängig von a und b
> ist (zumindest könnte man das bei der Aufgabenstellung
> vermuten) und a und b können auch negativ sein.
Auch das stimmt nicht. Der Grenzwert ist [mm] \br{a+2b}{3}.
[/mm]
> Ich hab
> schon versucht, die ersten Folgengleider aufzuschreiben,
> und dann die Folge direkt über [mm]n[/mm] zu definieren
Guter Ansatz. Wie sieht die Definition denn aus?
>und dann
> mit Induktion die Gleichheit zu beweisen und dann die Folge
> auf Konvergenz zu untersuchen. Das ist aber eigentlich viel
> zu kompliziert. Rechnet man die Punkte, die es für die
> Aufgabe gibt, auf die Zeit, die für die Klausur vorgesehen
> ist, um, sollte man die Aufgabe in 8 Minuten lösen
> können. Geht es also noch viel einfacher? Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Probier nochmal, aus der Rekursion rauszukommen und eine direkte Definition der Folgenglieder zu finden.
Grüße
reverend
PS - Kleiner Nachtrag:
Betrachte die Folgen
[mm] (c_n)_n [/mm] mit [mm] c_0=a, c_1=a [/mm] und [mm] c_{n+2}=\br{1}{2}(c_n+c_{n+1}) [/mm] und
[mm] (d_n)_n [/mm] mit [mm] d_0=0, d_1=d:=b-a [/mm] und [mm] d_{n+2}=\br{1}{2}(d_n+d_{n+1})
[/mm]
Die Grenzwerte dieser Folgen sind leicht zu bestimmen.
Zeige nun noch [mm] a_n=c_n+d_n.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 18.02.2014 | | Autor: | Morizz |
Hi, danke erst mal für die Antwort :) Leider klappt das bei mir mit der direkten Defintion nicht so ganz.... Die ersten Folgenglieder lauten:
[mm] a_{2}=\bruch{1}{2} [/mm] a + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] b [mm] \\
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{1}{4} [/mm] a + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] b [mm] \\
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{3}{8} [/mm] a + [mm] \bruch{5}{8} [/mm] b [mm] \\
[/mm]
[mm] a_{5}=\bruch{5}{16} [/mm] a + [mm] \bruch{11}{16} [/mm] b [mm] \\
[/mm]
Daraus werd ich leider nicht schlau.. Ich glaube ich probiers mal mit den zwei anderen Folgen :)
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Hallo nochmal,
> Hi, danke erst mal für die Antwort :) Leider klappt das
> bei mir mit der direkten Defintion nicht so ganz.... Die
> ersten Folgenglieder lauten:
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}[/mm] a + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b [mm]\\[/mm]
> [mm]a_{3}=\bruch{1}{4}[/mm] a + [mm]\bruch{3}{4}[/mm] b [mm]\\[/mm]
> [mm]a_{4}=\bruch{3}{8}[/mm] a + [mm]\bruch{5}{8}[/mm] b [mm]\\[/mm]
> [mm]a_{5}=\bruch{5}{16}[/mm] a + [mm]\bruch{11}{16}[/mm] b [mm]\\[/mm]
Korrekt.
> Daraus werd ich leider nicht schlau...
Das wird auch frühestens durchsichtiger, wenn Du noch zwei, drei Folgenglieder bestimmst. Wenn überhaupt.
> Ich glaube ich
> probiers mal mit den zwei anderen Folgen :)
Da ergibt sich leider das gleiche Problem. Lass mich raten: Du "hängst" bei [mm] d_n, [/mm] oder?
Da verdoppelt sich der Zähler von Schritt zu Schritt, allerdings mit einer Korrektur von [mm] \pm1. [/mm] Überleg mal, wie Du nun zeigen kannst, dass für den Grenzwert im Nenner eine 3 stehen muss.
Grüße
reverend
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